2020年人教版高一数学第一单元--集合与常用逻辑用语

第一单元集合与常用逻辑用语第1课集__合[过双基]1．集合的含义及表示(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且∃x0∈B，x0∉AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合A的元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁UA4．集合问题中的几个基本结论(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.[小题速通]1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,8}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为()A．2B．－2C．0D.2解析：选B若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±3，显然满足条件；若k2－2＝8，则k＝±10，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.2．(2018·河北武邑中学期中)集合A＝{x|x2－7x0，x∈N*}，则B＝y6y∈N*，y∈A中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选DA＝{x|x2－7x0，x∈N*}＝{x|0x7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝y6y∈N*，y∈A＝{1,2,3,6}，则B中元素的个数为4个．3．(2017·黄冈三模)设集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋40}，则∁UA等于()A．{1,2}B．{1,4}C．{2,4}D．{1,3,4}解析：选B因为集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋40}＝{x∈N|1x4}＝{2,3}，所以∁UA＝{1,4}．4．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选BA∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．5．(2017·衡水押题卷)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}，则A∩B为()A．(0,1)B．[0,1]C．(1,2)D．[1,2]解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，所以B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}＝{y|1≤y≤2}，所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．[清易错]1．在写集合的子集时，易忽视空集．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3．在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．1．(2018·西安质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为()A．8B．4C．3D．2解析：选B由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.2．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}，∁UA＝{a＋3}，则实数a的值为________．解析：∵∁UA＝{a＋3}，∴a＋3≠2且a＋3≠|a＋1|且a＋3∈U，由题意，得a＋3＝3或a＋3＝a2＋2a－3，解得a＝0或a＝2或a＝－3，又∵|a＋1|≠2且AU，∴a≠0且a≠－3，∴a＝2.答案：23．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．解析：由题意知A＝{2,3}，又A∩B＝B，所以B⊆A.当m＝0时，B＝∅，显然成立；当m≠0时，B＝1m⊆{2,3}，所以1m＝2或1m＝3，即m＝12或13.故m组成的集合是0，12，13.答案：0，12，13[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度集合的基本概念5年5考集合的表示、集合元素的性质集合间的基本关系5年2考子集概念集合的基本运算5年12考交、并、补运算，多与不等式相结合集合的基本概念[典例](1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4C．5D．6(2)(2018·厦门模拟)已知P＝{x|2xk，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．[解析](1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．(2)因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5k≤6.[答案](1)B(2)(5,6][方法技巧]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[即时演练]1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选CA＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32.答案：－32集合间的基本关系[典例](1)已知集合A＝{x|0x3}，C＝{x|axa＋1}，若C⊆A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，0]∪[3，＋∞)C．[0,2]D．[0,3](2)已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|－ax≤a＋3}，若B⊆(A∩B)，则实数a的取值范围为________．[解析](1)∵C⊆A，∴a≥0，a＋1≤3，解得0≤a≤2，故实数a的取值范围为[0,2]．(2)因为B⊆(A∩B)，所以B⊆A.①当B＝∅时，满足B⊆A，此时－a≥a＋3，即a≤－32；②当B≠∅时，要使B⊆A，则－aa＋3，－a≥1，a＋35，解得－32a≤－1.由①②可知，实数a的取值范围为(－∞，－1]．[答案](1)C(2)(－∞，－1][方法技巧]已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．[即时演练]1．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若B⊆A，则m＝________.解析：由已知得A＝{x|x＝－2或x＝－1}，B＝{x|x＝－1或x＝－m}．因为B⊆A，当－m＝－1，即m＝1时，满足题意；当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2.答案：1或22．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.解析：由log2x≤2，得0x≤4，即A＝{x|0x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a4，即c＝4.答案：4集合的基本运算集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有：1求交集或并集；2交、并、补的混合运算；3集合运算中的参数范围；4集合的新定义问题.角度一：求交集或并集1．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2)B．(1,2]C．(－2,1)D．[－2,1)解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x1}，故A∩B＝{x|－2≤x1}．2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1x1}，Q＝{x|0x2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2)B．(0,1)C．(－1,0)D．(1,2)解析：选A根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．角度二：交、并、补的混合运算3．设全集U＝R，集合A＝{x|x0}，B＝{x|x2－x－20}，则A∩(∁UB)＝()A．(0,2]B．(－1,2]C．[－1,2]D．[2，＋∞)解析：选D因为A＝{x|x0}，B＝{x|－1x2}，所以∁UB＝{x|x≤－1或x≥2}，所以A∩(∁UB)＝{x|x≥2}．4．若全集U＝R，集合A＝{x|12x4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∪(∁UB)＝________.解析：A＝{x|0x2}，B＝{x|x≥1}，则∁UB＝{x|x1}，所以A∪(∁UB)＝{x|x2}．答案：{x|x2}角度三：集合运算中的参数范围5．(2017·上海高考)设集合A＝{x||x－2|≤3}，B＝{x|xt}，若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是________．解析：因为集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|xt}，且A∩B＝∅，所以t≤－1，即实数t的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]角度四：集合的新定义问题6．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)＝()A．PB．M∩PC．M∪PD．M解析：选B设全集U，由题意可得M－P＝M∩(∁UP)，所以M－(M－P)＝M∩P.7．对于集合M，定义函数fM(x)＝－1，x∈M，1，x∉M，对于两个集合A，B，定义集合AΔB＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合AΔB的结果为________．解析：由题意知当x∈A且x∉B或x∈B且x∉A时，有fA(x)·fB(x)＝－1成立，所以AΔB＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12}[方法技巧]解集合运算问题4个注意点(1)看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形常用的数形结合形式有数轴和Venn图．(4)创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x1}，B＝{x|3x1}，则()A．A∩B＝{x|x0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x1}D．A∩B＝∅解析：选A∵集合A＝{x|x1}，B＝{x|x0}，∴A∩B＝{x|x0}，A∪B＝{x|