高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)高三数学集体备课记录课题：函数的单调性与导数时间、地点2016年9月26日主持人赵纯金参与者张泽成黄翼备课设想教材分析本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多，充分展示了导数解决问题的优越性。学情分析对于这这个知识板块学习已有一些基础，学生存在一些兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律，总结结论，熟练掌握。教学目标1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。2.培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。3.通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养重点难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。教学方法探究式教学，分组讨论，讲练结合等教学策略1.先以具体问题引入，让学生意识到用定义法、图象法在处理一些单调性问题时难度较大，这样易激发学生的学习兴趣。2.本节课宜适当采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解.二．教学过程：（一）复习回顾，知识梳理1．常见函数的导数公式：；；；．2．法则1．法则2,．法则3．3．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数0'C1)'(nnnxxxxcos)'(sinxxsin)'(cos)()()]()(['''xvxuxvxu[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx[()]'()CuxCux'2''(0)uuvuvvvvy=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或f′x((x))=f′(u)′(x)．4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．5．对数函数的导数：．6．指数函数的导数：；．（二）讲解新课1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x)．②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间。③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间。（三）、讲解范例例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2．令2x－2＞0，解得x＞1．∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．令2x－2＜0，解得x＜1．∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．xuxuyy'''xx1)'(ln奎屯王新敞新疆exxaalog1)'(logxxee)'(aaaxxln)'(342xxy/y/y/y/yy=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0321fx=x2-4x+3xOyBA21fx=x2-2x+4xOy21fx=2x3-6x2+7xOy令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数．证法一：（用以前学的方法证）证法二：（用导数方法证）∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0．∴f′(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数。点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜．∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1．∵为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x．分析：假设令f(x)=e2x－1－2x．∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明。证明：令f(x)=e2x－1－2x．∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。x1x121x21x21x5252521x52125fx=x21-x3xOy∵f(0)=e0－1－0=0．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0．∴1+2x＜e2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。解：y′=(x+)′=1－1·x－2=令＞0．解得x＞1或x＜－1．∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)．令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1．∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)．（四）课堂练习1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x32．讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间．3．求下列函数的单调区间(1)y=(2)y=(3)y=+x（五）小结f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数（五）.课后作业步步高P285-286三．教学反思：本节课通过观察分析、小组讨论，加深了学生对函数单调性与导数关系的理解，但在x1x1222)1)(1(1xxxxx2)1)(1(xxxx12)1)(1(xxxx1xx292xxx-22-11fx=x+1xxOy练习中发现部分学生对求导公式记忆不牢，运用时不熟练且易出错，所以接下来的学习中还要加强此方面的巩固练习。