高等数学第一章函数极限连续

学习必备欢迎下载第一章函数、极限与连续预备知识集合与符号一、集合1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合；组成集合的这些对象被称为集合的元素．2．表示：用大写字母A、B、C…表示集合；用小写字母a、b、c…表示集合的元素．x是集合E的元素，记为Ex(读作：x属于E);y不是集合E的元素，记为Ey(读作：y不属于E)．不含任何元素的集合称为空集合，记作3．集合间的关系（1）子集合：如果集合E的任何元素都是集合F的元素，那末我们就说E是F的子集合，简称为子集，记为(FE读作E包含于F）,或者EF（读作F包含E）．（2）相等：如果集合E的任何元素都是集合F的元素，并且集合F的任何元素也都是集合E的元素（即FE并且EF），那末我们说集合E与集合F相等，记为FE．我们约定：空集合是任何集合E的子集，即E．二、数集1．N自然数集;Z整数集；Q——有理数集;R——实数集;C复数集．把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z，Q和R,显然有NZQRC．和NZQR．2．区间——数轴上的一段所有点组成的集合符号名称定义),(ba有限区间开区间bxax],[ba闭区间bxax],(ba半开区间bxax),[ba半开区间bxax),(a无限区间开区间xax),[a闭区间xax),(a开区间axx],(a闭区间axx学习必备欢迎下载3．邻域设aR，.0数集axx称为a的邻域，记为),(aU=axx=aa,,a称为邻域的中心；称为邻域的半径。当不需要注明邻域的半径时，常把它表为)(aU，简称a的邻域．数集axx0表示在a的邻域),(aU中去掉a的集合，称为a的去心邻域，记作),(aU=axx0=aa,-a，当不需要注明邻域半径时，常将它表为)(aU，简称a的去心邻域．三、逻辑符号1．符号“”表示“蕴涵”或“推得”，或“若…，则…”．AB——若命题A成立，则命题B成立;或命题A蕴涵命题B;称A是B充分条件，同时也称B是A的必要条件；例如：n是整数n是有理数符号“”表示“必要充分”，或“等价”，或“当且仅当”．AB表示命题A与命题B等价;或命题A蕴涵命题B（AB），同时命题B也蕴涵命题A（BA）例如：AB任意xA，有xB．2.量词符号符号“”表示“任意”，或“任意一个”，它是将英文字母A倒过来．符号“”表示“存在”，或“能找到”，它是将英文字母E反过来．应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理比较简练明确．例如，数集A有上界、有下界和有界的定义：数集A有上界bR，xA，有xb．数集A有下界aR，xA，有ax．数集A有界0M，xA，有Mx．A既有上界，又有下界。3．max与min符号“max”表示“最大”（它是maximum(最大)的缩写）．符号“min”表示“最小”（它是minimum(最小)的缩写）．设naaa,,,21是n个数．例如：max{naaa,,,21}——n个数naaa,,,21中最大数．min{naaa,,,21}——n个数naaa,,,21中最小数．4．n！学习必备欢迎下载符号“n！”表示“不超过n的所有自然数的连乘积”，读作“n的阶乘”即n！=n（n-1）…3·2·1．如7！=7·6·5·4·3·2·1．5．连加符号Σ与连乘符号Π在数学中，常遇到一连串的数相加或一连串的数相乘，例如1+2+…+n或者)1()1(kmmm等．为简便起见，人们引入连加符号Σ与连乘符号Π：nniixxxx211，ninixxxx211．这里的指标i仅仅用以表示求和或求乘积的范围，把i换成别的符号j，k等，也同样表示同一和或同一乘积，例如niinnjjxxxxx1211，niinnjjxxxxx1211．人们通常把这样的指标称为“哑指标”．我们举几个例子说明连加符号Σ与连乘符号Π的应用．例1阶乘n!的定义可以写成n！=njj1．例2二项式定理可以表示为njnkkknknjnjjnnbaCbaCba00)(，其中)!(!!!)1()1(knknkknnnCkn．学习必备欢迎下载第一节函数的概念，几种简单性态教学目的：理解函数的概念，掌握函数的性质教学重点：函数的概念，函数的各种性质教学难点：函数的性质教学内容：1.函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数Dx，变量y按照一定法则f总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作)(xfy，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。函数的两大要素：定义域和对应关系例1求函数2112xxy的定义域。解：要使函数有意义，应满足02012xx21xx即：函数定义域为：,11,11,2例2判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx2与y=2lnx(2)ω=u与y=x解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数.（2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.2.函数的性质（1）有界性若有正数M存在，使函数xf在区间I上恒有Mxf，则称xf在区间I上是有界函数；否则，xf在区间I上是无界函数。如果存在常数M（不一定局限于正数），使函数xf在区间I上恒有f(x)M，则称xf在区间I上有上界，并且任意一个MN的数N都是xf在区间I上的一个上界；如果存在常数m，使xf在区间I上恒有mxf，则称xf在区间I上有下界，并且任意一个ml的数l都是xf在区间I上的一个下界。学习必备欢迎下载显然，函数xf在区间I上有界的充分必要条件是xf在区间I上既有上界又有下界。（2）单调性设函数xf在区间I上的任意两点21xx，都有21xfxf（或21xfxf），则称xfy在区间I上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数xf在区间I上的任意两点21xx，都有21xfxf（或21xfxf），则称xfy在区间I上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数2xy在区间0，内是严格单调减少的；在区间，0内是严格单调增加的。而函数3xyxy、在区间，内都是严格单调增加的。（3）奇偶性若函数xf的定义域D关于原点对称，对于任一Dx满足xfxf（或xfxf）则称xf为偶函数（或奇函数）。注意：1）讨论函数奇偶性的前提是该函数定义域关于原点对称；2）偶函数的图形是关于y轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，xxxgxxfsin2、在定义区间上都是偶函数。而xxF、xxxGcos在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数xfy，定义域为D，如果存在一个非零常数T,对一切的Dx均有xfTxf，则称函数xf为周期函数。并把T称为xf的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。对三角函数而言，xyxycossin、都是以2为周期的周期函数，而xytan、xycot则是以为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备作业：习题1-1:1（1）（3）（5）学习必备欢迎下载第二节初等函数教学目的：认识初等函数、复合函数，为研究微积分做好准备教学重点：复合函数教学难点：复合函数的理解1初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这5类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。（1）幂函数Raxya它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在,0x内总有定义。当Na或Nnna，121时，定义域为R。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数10aaayx，它的定义域为，，值域为，0。指数函数的图形如图1-2所示．（3）对数函数10logaaxya，定义域为，0，值域为，。对数函数xyalog是指数函数xay的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e＝2.718281828…作为指数函数和对数函数的底，并且记xxxeexlnlogexp，，而后者称为自然对数函数。（4）三角函数三角函数有正弦函xysin、余弦函数数xycos、正切函数xytan、余切函数xycot、正割函数xysec和余割函数xycsc。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-1图1-2图1-3学习必备欢迎下载（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数xyarcsin、反余弦函数xyarccos、反正切函数xyarctan和反余切函数xarcycot等．它们的图形如图1-5所示。4.复合函数设),(ufy其中)(xu，且)(x的值全部或部分落在)(uf的定义域内，则称)]([xfy为x的复合函数，而u称为中间变量.例3将函数y表示成x的复合函数（1）xuuycos,ln（2）1,sin,2,xvvueyu解：（1）,coslnlnxuy即xycosln（2）)1sin(2xueey，即)1sin(2xey图1-5图1-4学习必备欢迎下载例4求下列函数的复合过程（1）3)1(arccosxy（2）2lnxey（3）y=2cotx解：（1）由xvvuuy1,arccos,3这三个函数复合而成（2）由xvvueyu1,ln,这三个函数复合而成（3）由=u，u=cosv，v=2x这三个函数复合而成注意：并非任意两个函数都可以复合成一个函数。如，22,arcsinxuuy例5：设f(x)=2xg(x)=x2求f[g(x)]g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x2)=(x2)2=4xg[f(x)]=g(2x)=22x2.初等函数通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，32sin13sin4sinlnxyxeyxyx，，，…都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数xy等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。小结：作业：习题1-1：2.（2）（4）（6）第3节极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量之间的关系，掌握它们的性质，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系，无穷小量和无穷大量的概念教学难点：极限概念的理解，无穷小量和无穷大量有关性质教学内容：学习必备欢迎下载1.数列的极限引例：1）极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A；再作内接正十二边形，其面积记为2A；再作内接正二十四边形，其面积记为3A；循此下去，每次边数加倍，一般地