高一上学期数学知识点总结(含答案)

1高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设PQ、为两个非空实数集合，定义集合{|,}PQabaPbQ，若{0,2,5}P，}6,2,1{Q，则PQ中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{S，且满足“若Sa，则Sa6”，这样的S共有_____个（答：7）2.遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样当AB时，你是否忘记A的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}Axax，2|320Bxxx，且ABB，则实数a＝______.（答：10,1,2a）3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n，12n.22n如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M集合M有______个。（答：7）4.集合的运算性质：⑴ABABA；⑵ABBBA；⑶ABuuAB痧；⑷uuABAB痧；⑸uABUABð；⑹()UCABUUCACB；⑺()UUUCABCACB.如设全集}5,4,3,2,1{U，若}2{BA，}4{)(BACU，}5,1{)()(BCACUU，则A＝_____，B＝___.（答：{2,3}A，{2,4}B）5.研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：|xyfx—函数的定义域；|yyfx—函数的值域；(,)|xyyfx—函数图象上的点集，如设集合{|2}Mxyx，集合N＝2|,yyxxM，则MN__（答：[4,)）；6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于x的不等式250axxa的解集为M，若3M且5M求实数a的取值范围。（答：519253a，，）7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若p则q”；逆否命题为“若q则p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（答：在ABC中，若90C，则,AB不都是锐角）；（2）已知函数2(),11xxfxaax，证明方程0)(xf没有负数根。8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若2BA，则A是B的充分条件；若BA，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如设命题p：|43|1x；命题q:0)1()12(2aaxax。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是（答：1[0,]2）二、不等式1.不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,abcd，则acbd（若,abcd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则acbd（若0,0abcd，则abcd）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；（4）若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。如（1）对于实数cba,,中，给出下列命题：①22,bcacba则若；②babcac则若,22；③22,0bababa则若；④baba11,0则若；⑤baabba则若,0；⑥baba则若,0；⑦bcbacabac则若,0；⑧11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）（2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是______（答：1,7）（3）已知cba，且,0cba则ac的取值范围是______（答：12,2）2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（答：pq）3.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a,则bxa；若0a,则bxa；若0a,则当0b时，xR；当0b时，x。如已知关于x的不等式0)32()(baxba的解集为)31,(，则关于x的不等式0)2()3(abxba的解集为_______（答：{|3}xx）4.一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？设0a,12,xx是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如下表：20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc01{|xxx或2}xx1{|xxx或2}xx12{|}xxxx12{|}xxxx0{|}2bxxaR{|}2bxxa0RR3如解关于x的不等式：01)1(2xaax。（答：当0a时，1x；当0a时，1x或1xa；当01a时，11xa；当1a时，x；当1a时，11xa）5.对于方程02cbxax有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若0a，则一定有042acb。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）222210axax对一切Rx恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x的方程()fxk有解的条件是什么？(答：kD，其中D为()fx的值域)6.一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)fxaxbxca在),(k上有两根、在(,)mn上有两根、在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？0()0()02fmfnbman、()0fk）。根的分布理论成立（0()02fkbka、的前提是开区间，若在闭区间],[nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，再令nx和mx检查端点的情况．如12)2(24)(22ppxpxxf在区间]1,1[上至少存在一个实数c，使0)(cf，求实数p的取值范围。（答：3(3,)2）7.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两个根即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。如（1）不等式32xax的解集是(4,)b，则a=__________（答：18）；（2）若关于x的不等式02cbxax的解集为),(),(nm，其中0nm，则关于x的不等式02abxcx的解集为________（答：),1()1,(nm）；（3）不等式23210xbx对[1,2]x恒成立，则实数b的取值范围是_______（答：）。8.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。如：（1）解不等式2(1)(2)0xx。（答：1,2）（2）不等式2(2)230xxx的解集是____（答：3,1）（3）设函数()fx、()gx的定义域都是R，且()0fx的解集为{|12}xx，()0gx的解集为，则不等式()()0fxgx的解集为______（答：,12,）（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是.（答：817,8）9.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将y(a0)Okx1x2x4分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如：（1）解不等式25123xxx（答：1,12,3）（2）关于x的不等式0bax的解集为),1(，求关于x的不等式02xbax的解集（答：,12,）10.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|xx（答：R）（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|||1|3xx（答：,12,）（4）两边平方：如若不等式|32||2|xxa对任意xR恒成立，则实数a的取值范围。（答：43）11.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.（见4中例题）12.含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0||||||abab||||||||abab；ab、异号或有0||||||abab||||||||abab.如设2()13fxxx，实数a满足||1xa，求证：|()()|2(||1)fxfaa13.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如：（1）下列命题中正确的是A.1yxx的最小值是2B.2232xyx的最小值是2C.423(0)yxxx的最大值是243D.423(0)yxxx的最小值是243（2）若21xy，则24xy的最小值是______（答：22）（3）正数,xy满足21xy，则yx11的最小值为______（答：322）14.常用不等式有：（1）2222211abababab(当且仅当abc时，取等号)，根据目标不等式左右的结构选用；（2）abcR、、，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是______