矩阵秩的基本不等式

1矩阵秩的基本不等式定理1：设,mnAR，,nsBR，则()()()min(),()rArBnrABrArB。证明：由于0Bx的解一定是0ABx的解，因此0Bx的基础解系为0ABx的基础解系的一部分。于是，()()srBsrAB，即()()rABrB。()()()()()TTTTrABrABrBArArA。这样，我们就证明了()()rABrA，()()rABrB，故()min(),()rABrArB。我们假设1x，2x，……，()srBx，()1srBx，……，()srABx为0ABx的基础解系。其中，0iBx，1()isrB；0jBx，()1()srBjsrAB。下面，我们来证明向量组()()1srABjjsrBBx是线性无关的。事实上，假设数jk，()1()srBjsrAB，使得()()1()srABjjjsrBkBx，于是()()10srABjjsrBBx。这样，()()10srABjjsrBx为0Bx的解。于是，存在数jk，1()jsrB，使得()()()11()srABsrBjjjjsrBjxkx，即()10srABjjjkx。由于向量组()1srABjjx线性无关，因此，0jk，()1()srBjsrAB。于是，向量组()()1srABjjsrBBx线性无关。又由于()0jjABxABx，()1()srBjsrAB，因此()()1srABjjsrBBx为0Ax的基础解系的一部分。于是，()()11()()()srABsrBrBrABnrA即()()()rABrArBn。推论1：若,mnAR，,nsBR满足0AB，则()()rArBn。证明：0()()()rABrArBn，于是()()rArBn。