凸函数的Hadamard不等式及其应用

重庆理工大学硕士学位论文凸函数的Hadamard不等式及其应用姓名：张强申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：王良成2011-05-21摘要I摘要与凸函数有关的不等式在数学基础理论和数学应用中起着非常重要的作用。1893年，Hadamard在Jensen凸函数的定义下，给出了经典的不等式Hadamard不等式。Hadamard不等式随着凸函数的发展而发展，它是凸函数重要的理论和应用。凸函数的凸性和其本身的定义是建立在不等式基础上的这一事实，使凸函数成为了证明不等式的重要工具，由此建立、改进和推广了大量的不等式。关于凸函数Hadamard不等式的改进、加细、扩展、推广和应用也一直是数学家们研究的热点问题。本文第一部分介绍了凸函数的Hadamard不等式的研究背景和前人所做的一些工作，提出了在前人研究的基础上本文所主要研究的方向。第三部分首先根据[17][20]和第二部分，建立了关于Hadamard不等式一重积分的2个映射，又根据[20]，建立了关于Hadamard不等式重积分的3个映射，研究了这些映射的性质，得到了一些新的不等式，且发现了一些新的凸函数。最后，给出了Hadamard不等式的一些应用，又获得了一些新的不等式。本文丰富了Hadamard不等式，为促进Hadamard不等式的发展起到一定的作用。关键字：凸函数，Hadamard不等式，映射，加细，改进。AbstractIIAbstractInequalitiesrelatedtoconvexfunctionplayaveryimportantroleinthebasictheoryandapplicationofmathematics.In1893,oftheJensenconvexfunctiondefinitionHadamardgavetheclassicinequalitiesHadamardinequality.Hadamardinequalitywasdevelopedalongwithconvexfunction.Itisveryimportantfortheoreticalandappliedofconvexfunction.Thefactthattheconvexityofconvexfunctionanditsdefinitionisbasedoninequalitymakesconvexfunctionbecomeaveryimportanttooltoproveinequalitysothatalotofinequalitieswereestablished,reformedandextended.Andthereform,refinement,expansion,extensionandapplicationofHadamardinequalityofconvexfunctionhavebecomeahotresearchissueformathematicians.Inthefirstpartofthispaper,weintroducedtheresearchbackgroundandsomepreviousworkofHadamardinequalityforconvexfunction.Onthebaseofpreviouswork,weproposemainresearchdirectioninthispaper.Accordingtothepremiseof[17][20]andthesecondpartofthepaper,thethirdpartofthepaperestablishtwomappingsaboutonedefiniteintegralofHadamardinequality.Also,onthebaseof[20],weestablishthreemappingsaboutmultipleintegralofHadamardinequality.Weinvestigatethemappingsproperties,discoversomenewconvexfunctionsandsomenewinequalities.Finally,thispapergivessomeapplicationsofHadamardinequality,alsogetssomenewinequalities.ThispaperenrichesHadamardinequalityandwillplayacertainroleinpromotingthedevelopmentsoftheHadamardinequality.Keywords:convexfunction,Hadamardinequality,mappings,refinements,improve.重庆理工大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果、作品。对本文的研究做出重要贡献的集体和个人，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律后果。作者签名：日期：年月日学位论文使用授权声明本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权重庆理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于（请在以下相应方框内打“√”）：1.保密□，在年解密后适用本授权书。2.不保密□。作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日1绪论11绪论1.1研究背景及意义凸理论基础包括凸集、凸函数、凸锥、正解理论、赋范空间的凸性等内容。有关凸性的一些结果可追溯到18世纪中期，但是近代人们所谓的凸分析则是在20世纪初由H.Minkowski等人创始，它的研究对象主要是凸函数、凸泛函和凸集。近些年由于最优化理论的快速发展、线性学科和非线性学科的刺激需要，凸分析日趋重视，从而凸理论也得到了空前的深入和广泛的发展。由于凸理论的广泛应用，对凸分析的研究是非常有必要的。大约在十九世纪末至二十世纪初，不等式理论在欧洲国家就开始发展起来，最早由C.F.Gauss，A.L.Cauchy等人利用不等式的近似求值的方法奠定了不等式在数学各个方面的基础。在这期间许多不等式被证明了，其中有一些为经典不等式，如Jensen不等式（[1][2]）、Hadamard不等式（[3][4]）、Young不等式（[4]）、Hölder不等式（[4]）、Minkowski不等式（[4]）、Chebyshew不等式（[4]）等等。凸函数是现代数学中最广泛使用的概念之一，其概念很重要，我们不妨在这里引用Jensen的已被完全证明是正确的话：“我觉的凸函数的概念和正函数、增函数一样也是基本的。如果这一点我没弄错的话，这个概念应该在初等的实变函数理论陈述中占有自己的位置。”凸函数的概念与方法在数学的各分支中得到了广泛的应用：例如最优化理论，极值问题的理论，特别是凸规划理论与古典变分法理论，以及数学物理，整函数论，数理统计等等分支中。它与几何也有非常密切的联系（例如几何测度论，边界结构等），同时还在不动点理论、逼近论和临界点理论等许多学科中也时常遇到。在20世纪中后期，世界上的数学家们对凸函数进行了广泛深入的研究和讨论，它有许多很好的性质，其凸性就是证明不等式的重要工具。数学不等式的研究存在并应用于数理科学的方方面面，1934年由剑桥大学出版社出版的，G.H.Hardy,J.E.Littlewood和G.Polya的名著《不等式》（Inequalities）（[5]）把孤立、离散的不等式汇编成了一门系统的科学。这无疑是在不等式领域中最早的一本关于不等式纯粹的理论。自名著《不等式》出版之后，很多数学科研工作者都投身于对不等式的研究，而且发表了关于不等式的许多论文，其中重庆理工大学硕士学位论文2一些论文建立了一些新的比较重要的不等式，另外一些论文是对如上所述的一些经典不等式进行改进、推广和加细等。有关数学不等式的论文和专著大量发表和出版，国际学术会议频繁召开，不等式的研究日新月异、不等式的发展方兴未艾。特别是18世纪90年代不等式研究空前活跃，研究的深度、广度、方法和论题的范围都在迅速的扩大。近代数学的发展是离不开凸函数的。例如熟知的Hölder不等式和Minkowski不等式是建立pL空间的基本工具；在复变函数论、函数空间嵌入理论、变分计算、黎曼流形、近代调和分析等分支的发展中都离不开几何不等式；甚至从一个量的非负何时导致另一个量的非负的问题看来十分简单，却发展成正算子理论和微分不等式理论，而拟线性理论则是动态规则理论和正算子理论的融合([6])。与凸函数有关的不等式在数学的基础理论和应用研究中起着非常重要的作用。人们对凸函数不等式的研究，最早应该追溯到19世纪末。1905年，J.L.W.V.Jensen第一个用不等式定义凸函数，到本世纪初，王良成等又更深入地讨论了凸函数的幂平均不等式。在这一百多年中，人们对凸函数不等式的讨论十分活跃，其内容也特别的丰富。与凸函数相关的不等式在规划论、泛函分析、逼近论、对策论、微积分方程、随机过程、矩阵论、算子理论、最优化理论、运筹学、不动点理论、零界点理论、控制论及数理经济学等应用数学领域都有很多应用。对于凸函数不等式的研究，产生于18世纪，发展于19世纪。下面我们将介绍Jensen不等式的几种形式和Hadamard不等式及其近代发展情况。Jensen不等式的定义如下（[1][2][4]）：如果对[]12,,xxab∀∈,有()()121222fxfxxxf++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠,（1.1）则称f在[]ba,上是Jensen意义下的凸函数，简称J凸函数(也称其为中点凸函数)（[4]）。显然J凹函数就是（1.1）式中的不等号反向成立。严格J凸函数为（1.1）中严格等号不成立，类似可以定义严格J凹函数。Jensen还将(1.1)式推广为如下结果（[4]）：()11nniiiiiifrxrfx==⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠∑∑,（1.2）其中，[]baxi,∈∀，ir()1,2,,in=L为正有理数且满足11niir==∑.后来，人们又将(1.2)式推广为（[4]中定义(1.3)式）：设E是实线性空间X中的子凸集，12,xxE∀∈，f是E上的凸函数，当且仅当对(0,1)t∀∈，有1绪论3()()()()12121(1)ftxtxtfxtfx+−≤+−.（1.3）其中，当12t=时，则f在[],ab上是J凸函数或为中点凸函数（[4]）。同时将(1.3)式推广:设f是定义在实线性空间子凸集E上的凸函数，对ixE∀∈，()01,2,,itin=L且1ninitT==∑，有()1111nniiiiiinnftxtfxTT==⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠∑∑.（1.4）显然，如果f为凸函数，则f也为中点凸函数。人们统称(1.1)-(1.4)式为凸函数的Jensen不等式。我们不难看到，(1.1)式到(1.4)式都是讲凸函数在两个平均值之间的一种关系。问题自然产生了，我们是否可以在它们之间再插入一些平均值呢？答案当然是可以的。1893年Hadamard对(1.1)式进行了平均值的插值（[3]）。若f是[],ab上的连续凸函数，则有()()()122bafafbabffxdxba++⎛⎞≤≤⎜⎟−⎝⎠∫.（1.5）注：最近据王搀澜教授考证，该不等式在1893年前已由Hermite提出，故称上述不等式称为Hermite-Hadamard不等式，我们简称Hadamard不等式。(1.5)式是(1.1)式之间插入了一个区间上的积分平均值，由此可以看出，Jensen不等式与Hadamard不等式有着紧密的联系。数学工作者们在凸分析上进行了大量的研究，对J凸函数的条件加强或者削弱，便得到了不同的凸概念。大量的参考文献对凸函数的概念作