人教版高中数学-基本不等式(一)

人教版高中数学同步练习§3.4基本不等式：ab≤a＋b2(一)课时目标1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2．若a，b都为正数，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中a＋b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；(2)当x0时，x＋1x≥2；当x0时，x＋1x≤－2.(3)当ab0时，ba＋ab≥2；当ab0时，ba＋ab≤－2.(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．一、选择题1．已知a0，b0，则a＋b2，ab，a2＋b22，2aba＋b中最小的是()A.a＋b2B.abC.a2＋b22D.2aba＋b答案D解析方法一特殊值法．令a＝4，b＝2，则a＋b2＝3，ab＝8，a2＋b22＝10，2aba＋b＝83.∴2aba＋b最小．方法二2aba＋b＝21a＋1b，由21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，可知2aba＋b最小．2．已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝12x2－2(x0)，则m、n之间的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．m≤n答案A解析∵m＝(a－2)＋1a－2＋2≥2a－21a－2＋2＝4，n＝22－x222＝4.∴mn.3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤a2＋b22B．ab1a2＋b22C．aba2＋b221D.a2＋b22ab1答案B解析∵ab≤a＋b22，a≠b，∴ab1，又∵a2＋b22a＋b20，∴a2＋b221，∴ab1a2＋b22.4．已知正数0a1,0b1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b答案D解析因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b2ab，a2＋b22ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0a1,0b1，所以a－10，b－10，因此a2＋b2a＋b，所以a＋b最大．5．设0ab，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是()A.12B．bC．2abD．a2＋b2答案B解析∵aba＋b22，∴ab14，∴2ab12.∵a2＋b22a＋b20，∴a2＋b2212，∴a2＋b212.∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)0，∴ba2＋b2，∴b最大．6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(]0，1恒成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－52D．－3答案B解析x2＋ax＋1≥0在x∈(]0，1上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥－x＋1xmax.∵x＋1x≥2，∴－x＋1x≤－2，∴a≥－2.二、填空题7．若a1，则a＋1a－1有最______值，为________．答案大－1解析∵a1，∴a－10，∴－a－1＋1a－1＝(1－a)＋11－a≥2(a＝0时取等号)，∴a－1＋1a－1≤－2，∴a＋1a－1≤－1.8．若lgx＋lgy＝1，则2x＋5y的最小值为________．答案2解析∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x0，y0，∴2x＋5y＝2x＋x2≥2(x＝2时取等号)．9．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案3解析∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．10．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围为________．答案15，＋∞解析∵x0，∴xx2＋3x＋10，易知a0.∴x2＋3x＋1x≥1a，∴1a≤x＋1x＋3.∵x0，x＋1x＋3≥2x·1x＋3＝5(x＝1时取等号)，∴1a≤5.∴a≥15.三、解答题11．设a、b、c都是正数，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.证明∵a、b、c都是正数，∴bca、cab、abc也都是正数．∴bca＋cab≥2c，cab＋abc≥2a，bca＋abc≥2b，三式相加得2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.12．abc，n∈N且1a－b＋1b－c≥na－c，求n的最大值．解∵abc，∴a－b0，b－c0，a－c0.∵1a－b＋1b－c≥na－c，∴n≤a－ca－b＋a－cb－c.∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，∴n≤a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c，∴n≤b－ca－b＋a－bb－c＋2.∵b－ca－b＋a－bb－c≥2b－ca－b·a－bb－c＝2(2b＝a＋c时取等号)．∴n≤4.∴n的最大值是4.能力提升13．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8B．6C．4D．2答案C解析只需求(x＋y)1x＋ay的最小值大于等于9即可，又(x＋y)1x＋ay＝1＋a·xy＋yx＋a≥a＋1＋2a·xy·yx＝a＋2a＋1，等号成立仅当a·xy＝yx即可，所以(a)2＋2a＋1≥9，即(a)2＋2a－8≥0求得a≥2或a≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c1a＋1b＋1c.证明∵1a＋1b≥21ab＝2c，1b＋1c≥21bc＝2a，1c＋1a≥21ac＝2b，∴21a＋1b＋1c≥2(a＋b＋c)，即1a＋1b＋1c≥a＋b＋c.∵a，b，c为不等正实数，∴a＋b＋c1a＋1b＋1c.1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．2．两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，也有a＝b.