高等数学-第三章-泰勒公式-同济大学

泰勒公式本节要点我们将引入具有阶导数的函数的泰勒展开式,并给1n出相应的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项.利用阶的n泰勒公式给出函数在特定点的近似估计.最后利用佩亚诺型余项去求某些复杂函数的极限.一、问题的提出由拉格朗日中值定理,若并且当很小00,fxx0d,yyfxx或000,fxxfxfxx上式是用一次多项式来近似表达一个函数,但缺点是时,有不能具体估计误差的大小,并且在近似估计时精度不够高.设函数在含的开区间内有直到阶导数,fx0x1n来近似表示并给出误差的具体表达式.fx为了使所求出的多项式与函数在数值与性质方fx面吻合得更好,进一步要求在点处的函数值以nPx0x2010200nnnPaaxxaxxaxx⑴0xx我们的目的是用一个关于的多项式及它的阶导数值与在处的函数值以及它的nfx0xn阶导数值分别相等.即000,1,,.kknPxfxkn010,1,,.!kkafxknk⑵因10!112knkkPxkakkkaxx将代入上式,得0xx于是有011nknnnnkaxx2000002!nfxPxfxfxxxxx⑶00.!nnfxxxn上式称为函数的阶泰勒多项式.fxn例1求在处的1阶和2阶泰勒多项式.exfx0x解因01,01,01fff故而1阶泰勒多项式为:1001.Pxffxx2阶泰勒多项式为:2220001.22fxPxffxxx我们将e,xy1,yx21,2xyxxyOexy1yx212xyx的图象作一个比较.图中显示的情况说明,2阶泰勒多项式比1阶泰勒多项式的近似程度要好.二、泰勒中值定理定理如果函数在含的某个开区间内具fx0x,ab有直到阶导数,即那么对于1,,nfDab1n2000002!fxfxfxfxxxxx⑷00,!nnnfxxxRxn,,xab有这里,是与之间的某个值.0xx其中110,1!nnnfRxxxn⑸注公式⑷称为在处关于的阶泰勒fx0x0xxn当时,泰勒公式即为拉格朗日中值公式:0n00.fxfxfxx所以,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.公式,而⑸称为拉格朗日型余项.分析用的泰勒多项式近似表示时,其误fxfx1,nfxM11100.1!1!nnnnfMRxxxxxnn⑹在公式⑶中,取若记则01,x0,x,nRx,n,xab差为如果对于某个固定的当时,则有20002!ffxffxx11001.!1!nnnnffxxxnn由此得到近似计算公式:上式称为函数的阶麦克劳林多项式.而相应的误fxn20002!ffxffxx1.1!nnMRxxn⑻差估计式为⑺0.!nnfxn例2求出函数的阶麦克劳林展开式.exfxn解因e,nxfxfxfxfx所以:00001,nffff代入⑹式,得2111ee101.2!!1!xxnnxxxxnn因而相应的近似表达式为211e1.2!!xnxxxn当时,相应的误差估计式为0x11ee,1!1!xxnnnRxxxnn11e11.2!!n如果取即得到的近似表达式:1,xe例3求在021xyxx解因11,22,11xyyxx21,1yx454!26,,1yyxx处的三阶泰勒展开式.21,22,yy42244!y2322221xxxxx所以4512.1x例4求出函数的阶麦克劳林展开式.sinfxxn解因πsin0,1,2,,2nfxxnn所以02,00,1,2,.121,nmnmfmnm由公式⑹得135212111sin,3!5!21!mmmxxxxxRxm其中212πsin21201.21!mmxmRxxm当取或则可以得到的3次与5次近似多项23,msinx式:31sin,3!xxx相应的误差分别为574611,.5!7!RxxRxx3511sin,3!5!xxxxxOysinyx1Pxx3313!Pxxx355113!5!Pxxxx利用Mathematica可以做出函数与其近似多sinyx项式的图形.从图中可以看到,与其泰勒多项sinyx式随着的增大而越来越贴近.nPxnsinyx1yPx3yPx5yPx7yPx9yPx11yPx13yPx15yPx17yPx19yPx常见函数的麦克劳林展开式:24221111cos1,2!4!2!mmmxxxxRxm其中2221cos1π.22!mmxmRxxm123111ln1,23nnnxxxxxRxn其中111.11nnnnRxxnx2111112!!nnxxxxn其中,nRx11111.1!nnnnnRxxxn因当时,余项是比高阶的无0xx0nnRxxx0,nnRxoxx从而⑷式改变为2000002!fxfxfxfxxxxx⑼称为带佩亚诺型余项的泰勒展开式.更有下面的.穷小,即⑼000,!nnnfxxxoxxn有定理2如果函数在含的某个开区间内具fx0x,ab有直到阶的导数,且则n,,nfDab,,xab2000002!fxfxfxfxxxxx000+.!nnnfxxxoxxn常见函数带有佩亚诺型余项的麦克劳林展开式:211e1+,2!!nxnxxxoxn1352121111sin,3!5!21!mmmxxxxxoxm2422111cos1,2!4!2!mmmxxxxoxm123111ln1,23nnnxxxxxoxn21112!xxx11.!nnnxoxn例5求极限20cosln1lim.xxxxx解分别写出的二阶带佩亚诺型余项cos,ln1xx221cos1,2xxox221ln1,2xxxox由此得到的泰勒展开式:20cosln1limxxxxx221cosln1,2xxxxox所以2220112lim.2xxoxx例6求极限30cossinlim.xxxxx解由展开式:221cos1,2!xxox所以331cos,2!xxxxox又331sin,3!xxxox故33311cossin2!3!xxxxxxox331,3xox所以30cossin1lim.3xxxxx例7求极限210sinlim.xxxx解令21sin,xxyx则21sinlnln,xyxx所以22000lnsin/1sinlimlnlimlimln11xxxxxxyxxx23001sinsinlim1lim,xxxxxxxx再由泰勒公式:31sin,3!xxox此时上式为333sin1limlim,3!6xxxxx故原极限为21160sinlime.xxxx