解三角形(专题课)教学设计一、教材分析本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》,而在本章中,学生应该在已有的知识基础上,通过对任意三角形的边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续,通过本章内容的学习,学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形,使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点,如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。二、学情分析学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数,诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用,尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题,可以培养学生的数学应用意识,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。三、教学目标知识与技能:引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,会对正余弦定理会进行简单的变形;引导学生通过观察,推导,比较等出一些结论,如射影定理,三角形边角之间的关系;会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。过程与方法:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识,观察能力,总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。情感态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,进行高效课堂教学,激情教育,通过学生之间,师生之间的交流与讨论、合作与评价,调动学生的主动性和积极性,让学生体验学习数学的的乐趣,感受成功的喜悦,增强学生学好数学的信心,激发学生学习的兴趣。四、教学重难点重点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。难点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用;正余弦定理的变形应用;用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。五、课堂结构设计根据教材的内容和编排的特点,为更好有效地突出重点,攻破难点,以学生的发展为本,遵照学生的认知规律,本节主要以教师为主导,学生为主体,交流讨论,互助学习为主线的指导思想,采用“6+1”高效课堂教学模式,在教师的启发引导下,学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提,以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本学习内容,以生活实际为参照对象进行学习。学生活动主要为猜想-探究-验证-得出结论-应用结论。教师要抓住学生学习情感的兴奋点,激发学生的学习兴趣,鼓励学生大胆猜想,积极探索,严谨论证,勇于突破难点。教师要给学生充分合作交流学习的时间,给学生展示自己的机会和平台。教师要按照如图4的结构进行课堂教学,要给予学生适当的提示和引导,帮助学生攻克重难点问题。本节课学习,要体现学生课堂主体地位,增强学生由特殊到一般的数学思维能力,形成了实事求是的科学态度,增强学生锲而不舍的求学精神,帮助学生数学学科核心素养的提升。图4六、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图1.导创设情景引入新课幻灯片展示导学流程:1.正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin余弦定理:Abccbacos2222;2.三角形的面积公式:1sin24abcSabCR=12r(a+b+c)(其中R是ABC外接圆的半径,r是ABC内切圆的半径);4.三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,三个内角和为0180;5.射影定理:cBaAbcoscos师:明确本节课学习目标,学习重难点。引导学生回顾并完成导学流程图,通过诱思让学生自己得出三角形边角关系的等量式。生:集中精力,认真听讲,主动思考,通过观察,类比得出正余弦定理的变形式,RaAARa2sin,sin2;bcacbA2cos222三角形边角关系式:通过教师引导,让学生完成导学流程,激发学生回顾旧知,总结归纳得出新的结论。教师提出余弦定理的变形形式,使学生带着问题走进课堂,激发学生求知欲。创设情境,导入新课1.导检测反馈,内化所学点评精讲,突破重难点激情踊跃,展示所学小组讨论,合作学习研读深思,独立自学6.检5.评4.展3.议2.思6.结论:在ABC中,sinsinABabAB;sin()sinABC,cos()cosABC,2cos2sincBA,2sin2coscBA2.思研读深思自主学习回顾并熟识解三角形需要的基础知识,思考并完成导学提纲以及以下问题:1、余弦定理变形形式还有那些?(提示:可从最值不等关系考虑);2、在具体解题过程中如何运用射影定理?请举例说明;3、解三角形的基本题型有哪些?请举例说明。师:明确思考问题。全班巡视,观察学生学习状态,做好学习评价,关注学生疑惑点,对个别学生予以指导。生:研读深思导学提纲,独立自主地完成导学提纲的问题及练习题。通过做题,善于总结解题技巧,解题方法,注意问题,以及数学思想。让学生带着问题认真研读导学提纲,通过深思熟虑,自主学习。掌握正余弦定理的概念、变形公式。理解解三角形的本质,会运用正余弦定理解三角形。通过完成导学提纲的习题,总结归纳数学思想方法,得出一般认知规律。3.议小组讨论合作学习根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次:思考1:化简求值问题:ABC的内角ABC、、所对的边分别为,,abc,已知2sin8sin2BAC,[来源:学&科&网](1)求cosB;(2)若6ac,ABC的面积为2,求b。思考2:三角形面积最值问题:ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,且1cos3A.(1)求2coscos22BCA的值;(2)若3a,求ABC面积的最大值;思考3:三角形周长最值问题:师:组织学生讨论,互帮互学,解决自学中的疑难问题、焦点问题;对学生进行指导,让学生初步理解解决最值问题应考虑基本不能等式的应用。解决最值问题除了用基本不等式之外还可引入三角函数解决。生:积极参与讨论,勇于向组内同学提出疑问,组长组织小组同学采取对议、组议等形式进行答疑解惑,确保全组同学基础问题全部解决。同学之间相互交流,探究得出解决三角形最值问题要讲余弦定理进行变形:通过交流讨论提起学生的学习兴趣,通过讨论产生火花激发创造性思维,加深对正余弦定理的理解。提高课堂效率。理解并灵活运用正余弦定理是本节课的教学重难点,通过层层设疑,把学生推向问题的中心,让学生动手操作,直观感受来突出重点、突破难点。通脱探究发现解三角形与其他知识的联系,尤其与是向量、三角函数、基本不等式的联系。在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足3,cos2cosccBabC.(1)求角C的大小;(2)求ABC的周长的最大值;思考4:三角形中求取值范围问题:在ABC中,角CBA、、所对的边为cba、、,且满足cos2cos22coscos66ABAA(1)求角B的值;(2)若3b且ab,求ca21的取值范围.Abccbacos2222,用bccb222进行代替从而得出;两种形式的不等关系。此外,周长问题可考虑用bccbcb2222代替;从而解决三角心面积最值与周问题。4.展激情踊跃展示所学全班展示思考1,思考2,思考3,以及“思”环节提出的问题。要求:1.思考1是基础问题,“议”环节若完成效果好,可不用再展示;2.思考2与思考3是本节重点内容,学生要着重展示自己的解题思路,解题技巧,清楚地表达思维过程,标准地展示解题步骤;3.同学们要积极踊跃,大胆尝试,敢于质疑。展示环节要时刻保持学习高效性。师:组织学生秩序井然地进行展示自己的见解。学生展示过程中,教师要善于倾听,学会期待,给学生充分展示自己的时间。对需要总结归纳的知识要指定A层学生回答,学生在“议”环节发现的新思路,新方法,典型错误,可直接点名有学生完成;对于学生临时生成的问题,思维教师要不失时机地引导学生踊跃展示,从而拓展思路,深入探究。生:学生口头展示要激情饱发展学生的应用意识,是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一;目的是让学生学会用数学的眼光去看待数学模型,建立各学科之间的联系,更深刻地把握事物变化的规律加深学生对导数内涵的理解,体验数学在实际生活中的应用;通过引导学生勇于为自己争取展示的机会,增强学生学习数学的自信心,强化本节课的学习成果,让学生体验到成功感、成就感。从而激发学生探究的兴趣、对解三角形的解题思路,知识框架,数学思想等形成体系。掌握解三角形中求最值问题的方法和技巧。满,声音洪亮,语言清晰。黑板展示要静、齐、快,书写认真,字迹工整,力求答题格式规范,讲解清晰。其他学生要学会聆听,积极思考,用心找出补充点、质疑点和纠错点,做好质疑准备。学生在大胆质疑时,要等展示同学展示完毕方可,质疑、补充、纠错要语言干脆精炼,不可拖泥带水。5评点评导学精讲重难点1、从自学、合作、参与度等方面,对小组予以评价激励;2、点评学生在展示中暴露出来的问题、以及不能解决的问题。例如思考4,在解三角形中如何解决求解取值范围问题。3、向学生精讲解三角形中如果解决求取值范围问题以及思考4,向学生规范的答题格式。老师评析,并用幻灯片给出1、会用射影定理、三角恒等变换、诱导公式等进行翻译条件,完成给值求角问题;2、明确解三角形求最值问题的题型及解题思路,技巧;巧妙运用余弦定理进行变形引用。3、解决求取值范围问题要从问题出发,如果是求解cbaba,等简单取值范围,可以用不等式思想,也可以用三角函数思想解决;求解baca3,21等取值范围问题一般要正弦定理实现边化角,从三角函数的角度去解决。但要注意角的取值范围。“评”是精讲,“评”是拓展,“评”是点睛,“评”是结论。教师及时向学生反馈学习评价,增强学生学习数学的自信心,调动学生学习兴趣。教师通过精简干练的语言强调本节课的重难点。教师通过精讲求取值范围问题,将本节课难点注意突破,升华课堂。通过“评”学生对解三角形的题型有了初步的归纳总结,系统掌握解三角形的解题思路,技巧,学会如何从函数的角度解决取值范围问题。5.检检测反馈内化所学幻灯片展示:当堂检测1.已知顶点在单位圆上的△ABC,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2coscoscosaAcBbC.(1)求cosA的值;(2)若ba,求2bc的取值范围.2.ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(Ⅰ)求sinsinBC;(Ⅱ)若1AD,22DC,求BD和AC的长.引学生完成“当堂小测”,并总结本节课的知识点,以及解题过程中需要注意的问题。检测学生的学习成果,学习目标落实得如何。学生在教师的引导下,进行反思、反刍内化、自我,强化所学,深化课堂。6.练巩固迁移学以致用(作业)此环节是在数学限时练习课完成,限定时间完成作业,提高学生解题效率。作业是学生信息的反馈,能在作业中发现和弥补教学中的不足,同时注重个体差异,因材施教板书设计复习课:解三角形1、正余弦定理2、射影定理,三角形面积公式推论:3、解三角形一般题型4、注意问题板书设计清楚整洁,便于突出知识目标,让学生对本节课的知识框架了然于心,便于学生构建知识体系。