1.1.2--集合的表示方法

1.1.2集合的表示方法1、知识目标：使学生掌握常用的集合表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；2、能力目标：提高学生运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；3、情感目标：通过合作学习，培养学生的合作精神.学习目标前面我们学过，可以用自然语言描述一个集合，也可以用一个“{}”来表示一个集合，元素之间用逗号隔开，那表示一个集合具体有哪些方法呢？这一节课我们就来研究！引入新课思考1怎样表示“方程x2-5x=0在实数内解的全体”组成的集合C？解答：可以这样表示：C={0，5}.像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.思考2怎样用列举法来表示“由大于3小于10的整数组成的集合”？解答：{4，5，6，7，8，9}.列举法的优点与适应范围：(1)优点:可以明确集合中具体的元素及元素的个数.(2)使用列举法必须注意:①元素间用“，”分隔.②集合中的元素必须满足三个特性.③元素不能遗漏.④适用范围:ⅰ.含有有限个元素且个数较少的集合.ⅱ.有些集合的元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.例如:不大于100的自然数构成的集合可表示为{0,1,2,3,…，100}ⅲ.无限集有时也可用上述的列举法表示.例如:自然数集N可表示为{0,1,2,3,…，n,…}.思考3能不能用列举法表示“由大于3小于10的实数组成的集合”?解答：我们不能用列举法来表示大于3小于10的实数组成的集合，因为这个集合的元素是列举不完的，而元素的排列又不呈现明显的规律.对于元素较多的集合或者根本就不能将元素一一列举的集合用“描述法”来表示就显得简洁明了。什么是描述法呢？一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.{x∈R3x＜10}注意：在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写.例如，在实数集R中取值“∈R”常常省略不写，像上述集合也可以写作{x|3x＜10}.大于3小于10的实数组成的集合可表示为：代表元素所有元素所共有的“特征性质”描述法的一般形式为：{x∈I|p(x)}x为该集合的代表元素p(x)表示该集合中的元素x所具有的性质使用描述法必须注意：①写清该集合中元素的代表符号；②准确说明该集合中元素的特征；③应对代表元素进行说明；④多层描述时,应当准确使用“且”与“或”；⑤所有描述的内容都要写在“｛｝”内；⑥集合符号“｛｝”已包含“所有”的意思,因而大括号内的文字描述,不应该再用“全体”，“全部”，“所有”或“集”等词语.例1用列举法表示下列集合：（1）A＝{x∈N｜0x≤5}；（2）B＝{x|x2-5x+6＝0}.[分析]对于(1)集合A中“x∈N”且“0x≤5”共同限制了集合元素的属性，而（2）中所求的也即是方程的解集，解方程即得.解：（1）A＝{1,2,3,4,5}；（2）B＝{2,3}.练习:用列举法表示下列集合:（1）由x2-9=0方程的所有实数根组成的集合.（2）由小于8的所有素数组成的集合.（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合.{3,3}{2,3,5,7}{(1,4)}例2用描述法表示下列集合:（1）{-1,1}；（2）大于3的全体偶数构成的集合；（3）在平面内，线段AB的垂直平分线.a分析:对于用描述法表示的集合，要从本质上去认识它，看清集合的“代表元素”，判断出我们要研究的集合元素所共有的“特征性质”.解:(1)这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于1的实数，即|x|＝1于是这个集合可以表示为{x||x|=1}.(2)这个集合的一个特征性质可以描述为x3，且x=2n,n∈N.于是这个集合可以表示为{x|x3,且x=2n,n∈N}.（3）设点P为线段AB的垂直平分线上任一点，点P和线段AB都在平面内，则这个集合的特征性质可以描述为PA＝PB于是这个集合可以表示为{点P∈平面｜PA＝PB}.aa在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别.技巧点拨：使用描述法时，还应注意以下几点：①写清集合中代表元素的符号，如实数或实数对或点的坐标表示；②说明该集合中元素具有的特征性质，如方程、不等式、函数或几何图形等；③描述法的语言形式主要有两种：文字语言和符号语言，如表示直角坐标轴上的点的集合．文字语言：{点P|P是直角坐标轴上的点}；符号语言：{(x，y)|xy＝0}．练习:用描述法表示下列给定的集合：（1）不等式4x－53的解集.（2）二次函数y=x2-4的函数值组成的集合.（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.（4）不等式的解集.2yx342xx{x|}{|}{x|}y{x|}2x4y0x45x例3用适当的方法表示下列集合：(1)比4大2的数；(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集；(3)不等式x－23的解的集合；(4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合．分析:由题目可获取以下主要信息：①已知4个集合；②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比4大2的数就是6，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等式的解有无数个，宜采用描述法；对于(4)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．解：(1)比4大2的数显然是6，故可表示为{6}．(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴∴方程的解集为{}或{(2，－3)}．(3)由x－23，得x5.故不等式的解集为{x|x5}．(4)“二次函数y＝x2－1的图象上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－1}．x=2，y=-3x=2y=-3规律总结：用什么方法表示集合，要具体问题具体分析：（1）列举法对于元素较少的集合可以一目了然，方便快捷，但元素较多时就不太方便了.（2）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的类型，是数集、点集还是其他的类型．描述法多用于元素个数无限的集合．3.用适当的方法表示下列集合：(1)二元二次方程组y＝xy＝x2的集合；(2)大于4的全体奇数组成的集合；(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；(4)一次函数y＝2x＋1图象上所有点组成的集合．练习解：(1)列举法：{(0,0)，(1,1)}；(2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；(3)列举法：因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，所以x＝0y＝3或x=1y=2或x＝2y＝1或x＝3y＝0.所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}；(4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}．下列说法：(1)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；(2)实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；(3)方程组x＋y＝3x－y＝－1的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确的有()A．3个B．2个C．1个D．0个练习【分析】对于用描述法表示集合，一清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么．解：(1)由x3=x，即x(x2-1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0,1}．(2)集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数构成的集合，实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R.(3)方程组x＋y＝3x－y＝－1的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示由两个等式组成的集合，方程组的解集正确的表示应为{(1,2)}或{(x，y)|x＝1y＝2}.故选D.22集合{(x,y)|y=x+1}与集合{y|y=x+1}以及2{x|y=x+1}是同一集合吗？拓展探究..2222222他们是不同的集合集合{(x,y)|y=x+1}是点集，集合{y|y=x+1}与{x|y=x+1}是数集，而集合{y|y=x+1}与{x|y=x+1}的代表元素又是不一样的，实际上前者可看成抛物线y=x+1所有点的横坐标构成的集合，后者是抛物线y=x+1所有点的纵坐标组成解的集合：1、用列举法表示集合的注意事项及适用范围：适合有限集，元素逐一列举在“{}”内.2、用描述法表示集合的注意事项及适应范围：适合无限集，{x|x的特征性质}.关注两方面：代表元素（是点还是数还是其他）.所有元素所共有的特征性质如何表示.行动与不满足是进步的第一必需品。