数学必修一课件

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合【知识梳理】1.必会知识教材回顾填一填(1)集合的基本概念:①集合元素的性质:_______、_______、_______.②元素与集合的关系:ⅰ属于,记为___;ⅱ不属于,记为__.确定性无序性互异性∈∉③常见集合的符号:集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号______________NN*或N+ZQR④集合的表示方法:_______、_______、_______.列举法描述法图示法(2)集合间的基本关系:表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素__________且_____⇔A=B子集A中任意一个元素均为B中的元素___________真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素___________空集空集是_________的子集,是______________的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)Ü相同A⊆BB⊆AA⊆B或B⊇AAB或BA任何集合任何非空集合(3)集合的基本运算:并集交集补集图形符号A∪B=________________A∩B=________________∁UA=_______________{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}2.必备结论教材提炼记一记(1)对于有限集合A,若card(A)=n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为____,非空真子集个数为____.(2)A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.2n-12n-2(3)一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).【小题快练】教材改编链接教材练一练1.(必修1P12T5(2)改编)若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下面结论中正确的是()A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A【解析】选D.因为2不是自然数,所以a∉A.10222.(必修1P12T6改编)设集合A={x|x2-160},B={x|3x-7≥8-2x},则A∩B=()A.{x|-4x4}B.{x|-4≤x≤4}C.{x|3≤x4}D.{x|3≤x≤4}【解析】选C.因为A={x|-4x4},B={x|x≥3},所以A∩B={x|3≤x4}.3.(必修1P12T1改编)已知集合A={0,1,2},集合B满足A∪B={0,1,2},则集合B有________个.【解析】由题意知B⊆A,则集合B有8个.答案:8真题小试感悟考题试一试4.(2016·山东高考)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-10},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选C.因为A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-10},所以集合A表示大于0的实数,而集合B表示在-1与1之间的实数,所以A∪B=(-1,+∞).5.(2016·浙江高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【解析】选C.(P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.UðUð考点1集合的概念【典例1】(1)已知A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A(2)(2017·宁德模拟)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则a+2b+5c等于()A.4B.5C.7D.11【解题导引】(1)判断元素x是不是A的元素,只需由x=3k-1解出k,而k∈Z时便说明x∈A,否则x∉A,从而按照这个方法判断每个选项的正误即可.(2)根据集合相等的条件,列出a,b,c所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出a,b,c的值后代入式子求值.【规范解答】(1)选C.k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误;令-11=3k-1,k=-∉Z,所以-11∉A,所以B错误;令-34=3k-1,k=-11,所以-34∈A,所以D错误.因为k∈Z,所以k2∈N,则3k2-1∈A,所以C正确.103(2)选C.由{a,b,c}={0,1,2}得,a,b,c的取值有以下情况:当a=0时,b=1,c=2或b=2,c=1,此时不满足条件;当a=1时,b=0,c=2或b=2,c=0,此时不满足条件;当a=2时,b=1,c=0,此时不满足条件;当a=2时,b=0,c=1,此时满足条件.综上得,a=2,b=0,c=1,代入a+2b+5c=7.【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.【变式训练】若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=()A.B.C.0D.0或929898【解析】选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意,当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的值为0或.239898【加固训练】1.(2017·洛阳模拟)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为()A.3B.6C.8D.9【解析】选D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.2.已知集合A={x|x2-2x+a0},且1∉A,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选B.若1∈A,则1-2+a0,解得a1.因为1∉A,所以a≤1.故选B.3.已知集合A={x2+x,4x},若0∈A,则x=________.【解析】由题意,得或解得x=-1.答案:-12xx0,4x024x0,xx0,考点2集合间的关系【典例2】(1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N*},则集合A的真子集的个数为()A.7B.8C.15D.16(2)已知集合A=,B={x2,x+y,0},若A=B,则x+y=______.(3)(2017·襄阳模拟)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1x2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.y1{2x1}x，，【解题导引】(1)先解不等式,确定集合A中元素的个数,再求解.(2)根据两个集合中元素的特点分类讨论求解.(3)分B=∅与B≠∅两种情况讨论求解.【规范解答】(1)选A.A={x|-1≤x≤3,x∈N*}={1,2,3},其真子集有:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.或因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为23-1=7(个).(2)由题意,得A中必有零,又x≠0,所以=0,即y=1.此时A={2x,0,1},B={x2,x+1,0},因为A=B,所以y1x222xx1,2xx,x11,x1,或即x=0或x=1,由集合中元素的互异性知x=0不满足题意,故x=1,所以x+y=2.答案:2(3)当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1≥2m-1,即m≤2,当B≠∅时,要使B⊆A,则有解得2m≤4.综上可得m≤4.答案:(-∞,4]m122m17m2，，，【母题变式】1.本例(3)中,是否存在实数m,使A⊆B?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】由A⊆B,得不等式组无解,故不存在实数m,使A⊆B.m12,m3,2m17,m4,＜＜即＞＞2.本例(3)中,若B={x|m+1≤x≤1-2m},AB,求实数m的取值范围.【解析】因为A={x|-2≤x≤7},AB,所以解得m≤-3,m12,12m7,m112m,又当m=-3时,B={x|-2≤x≤7}=A,不满足题意,所以m≠-3.故实数m的取值范围为(-∞,-3).【易错提醒】当题目中有条件B⊆A时,易忽视B=∅而致错.【规律方法】1.确定集合子集个数的思路(1)当集合中元素的个数不多于3个时,可通过逐一列出来确定.(2)当集合中元素的个数较多时,设其个数为n,可通过公式2n,2n-1求出其子集的个数和真子集的个数.2.集合相等问题的求解思路对于集合相等,首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.3.根据集合的关系求参数的关键点及注意点(1)关键点:将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.(2)注意点:①注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.②注意区间端点的取舍.【变式训练】(2017·大连模拟)已知集合A={x|x2-ax+2=0},B={1,2},若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.{3}B.{-2,2,3}C.{a|-2a2或a=3}D.{a|a-2或a=3}22222【解析】选C.①若A是空集,则Δ=(-a)2-80,即-2a2.②若A={1},则无解.③若A={2},则无解.222a80,1a20，2a80,42a20,④若A={1,2},则解得a=3.综上所述,当A⊆B时,a的取值范围为{a|-2a2或a=3}.12a,122,22【加固训练】1.(2017·保定模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}【解析】选D.由题意,得B={-1,1},因为A⊆B,所以当A=∅时,a=0;当A={-1}时,a=-1;当A={1}时,a=1.又A中至多有一个元素,所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}.2.已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|xm+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是____________.【解析】因为A={x|-1≤x≤2016},B={x|xm+1},A⊆B,所以m+12016,即m2015.答案:(2015,+∞)考点3集合的运算【知·考情】命题角度命题视角求交集常与方程、不等式、函数结合命题,属容易题求并集常与方程、不等式、函数结合命题,属容易题交、并、补的混合运算对补集的考查常以有限集的形式命题,常与交集(或并集)综合考查,属容易题【明·角度】命题角度1:求交集【典例3】(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|x29},则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}【解题导引】先化简集合B,再求A∩B.【规范解答】选D.由x29,得-3x3,所以B={x|-3x3},所以A∩B={1,2}.命题角度2:求并集【典例4】(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解题导引】先求出集合B,再利用Venn图求出A∪B.【规范解答】选C.B={x|(x+1)(x-2)0,x∈Z}={x|-1x2,x∈Z},所以B={0,1},所以A∪B={0,1,2,3}.【误区警示】平时练习,求交集较多,本题要求的是并集,审题时要注意.命题角度3:交、并、补的混合运算【典例5】(2016·全国卷Ⅲ)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10