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钉子板上的多边形苏州市枫桥中心小学赵欢教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形”教学目标：1、使学生通过操作、观察、猜想、推理、验证等活动，发现钉子板上围出的多边形的面积与它边上的钉子数、以及多边形内钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。2、使学生通过探索规律、发现规律、表达规律的过程，体会归纳思维，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。3、使学生初步了解人们探索和发现规律常用的方法，感受科学的研究态度。教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。教学难点：探索多边形内部钉子数与多边形面积之间的关系。教学准备：点子图练习纸。教学过程：一、创设情境，引出问题1.谈话：知道我们今天要研究什么吗？————钉子板上的多边形（揭示课题）视频重温钉子板上围多边形的过程，并相机说出是几边形。谈话：你现在什么没有钉子板，怎么办？（用点子图代替）为了研究的方便，我们用这样的点子图代替钉子板。2.思考：在钉子板上围图形，最少需要多少枚钉子？提问：图形的面积是多少？你是怎么想的？学生交流师：看来，要知道钉子板上多边形的面积，可以用公式算，也可以数出来。今天我们就来研究钉子板上多边形的面积。（板贴：多边形的面积）3.提问：你认为多边形的面积可能跟什么有关？一位学生演示数多边形边上钉子数的过程。二、分层探索，发现规律（一）探究内部有1枚钉子的多边形。谈话：我们的感觉是否正确呢？我们还要进一步讨论，下面我们就从比较简单的图形开始研究。出示“例1”（1）学生独立完成四个图形的数据填写。（2）自己尝试发现规律。2.观察数据，比较发现。请学生汇报数据。提问：观察表格中的数据，你发现了什么？提问：可以用关系式表达出来吗？（多边形的面积数=多边形边上的钉子数÷2或者多边形的面积数=0.5×多边形边上的钉子数）提问：你会用字母表示吗？这里的S和n分别表示什么？谈话：钉子板上所有多边形的面积都可以用这个关系式计算吗？数学是最讲究严谨的学科，我们还需要动手验证一下！反馈符合和不符合的情况。谈话：这四个图形形状不同，边上的钉子数不同，但它们有一个共同点，看谁有火眼金睛能够发现它？只有当内部的钉子数为1时，S=n÷2，此时，你认为多边形的面积仅和多边形边上的钉子数有关吗？运用这个关系式计算时，我们还需要增加的前提条件是什么？（a=1）你能把刚才的发现完整地，说一说吗？（二）探究内部有2枚钉子的多边形1.谈话：老师把图形变一变，请你仔细观察，多边形边上的钉子数发生变化了吗？（带着学生数一数）什么变了？面积变大了多少？谈话：你的感觉是否正确呢？我们还需要动手验证一下。学生完成例2。2.同桌讨论交流自己的发现。3.学生汇报提问：如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写？（学生可能发现：1.当a=2时，S=n÷2＋1；2.当a=2时，S=（n＋2）÷2，师：我们尝试着把括去掉。=n÷2＋2÷2=n÷2＋1，两者相等。追问：刚才有同学画出内部钉子数为两枚的情况吗？我们来验证下是否正确。4.深入思考谈话：同学们，仔细观察，当a=1时，与当a=2时，表示面积的式子发生了怎样的变化？果然增加了1！谈话：下面我们从图上更直观的感受一下。你能指一指增加的1在哪里吗？师：如果多边形内部再增加一枚钉子，面积会？（再增加1）（三）探究内部有3枚、4枚钉子的多边形。1.引发猜想探究：我相信现在很多同学肯定有了大胆的猜想：老师再把图形变一变，现在多边形内部有多少枚钉子？S=？当a=4时，S=？。2.验证猜想（1）谈话：这些都是我们的猜想，还需要我们验证，让我们亲自动手验证一下吧！（2）出示研究单明确要求。小组完成后，交流。（3）汇报师：你们验证的是内部有几枚钉子的多边形？结论如何？那些同学和他验证同一个内容的？你们的结论都一样吗？三、深化理解，完善结论1.引导：如果当多边形内部有10枚钉子时，多边形的面积数等于？如果当多边形内部有100枚钉子时，多边形的面积数等于？谈话：你能把这些规律用一个式子包含进去吗？如果当多边形内部有a枚钉子时，多边形的面积数S=n÷2+（a-1）2.研究内部钉子数为0的情况。出示课始两个图形，师生一起验证。3.体验成功的喜悦。介绍乔治皮克、《格点与面积》。四、回顾过程，课外延伸1.回顾我们探索和发现规律的过程。2.皮克定理的应用。