解三角形题型总结

第1页共12页解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如BAbaBAbsinsin,sinsina（切记必须为齐次式，高考常考点）思考：若CBAbcsinsinsina22是否可化为是否可行2）角化边形如这样的分式或等式baBAbBAsinsin,asinsin思路总结：sinsinabAB2sincRC此为以上转换依据2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a，b和A，不解三角形，求B时的解的情况:如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinAsinB1，则B有两解；如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB1，则B无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。第2页共12页5、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA分类题解：类型一：正弦定理1、计算问题：例1、（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________例2、已知ABC中，A60，3a，则sinsinsinabcABC=．例3、在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．求角A的大小；2、三角形形状问题例3、在ABC中，已知,,abc分别为角A，B，C的对边，1)BAbcoscosa试确定ABC形状。2）若coscosaBbA，试确定ABC形状。第3页共12页4）在ABC中，已知AbBatantan22，试判断三角形的形状。5）已知在ABC中，CcBbsinsin，且CBA222sinsinsin，试判断三角形的形状。例4、（2016年上海）已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于______类型二：余弦定理1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角在△ABC中，若222abc，则角C是直角；若222abc，则角C是钝角；若222abc，则角C是锐角．例1、在△ABC中，若a9,b10,c12,则△ABC的形状是_________。2、求角或者边例2、（2016年天津高考）在△ABC中，若=13AB,BC=3，120C,则AC=．例3、在△ABC中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角．例4、在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?第4页共12页3、余弦公式直接应用例5、：在ABC中，若222abcbc，求角A．例6、：(2013重庆理20)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；例7、设△的内角，，所对的边分别为，，.若，则角例8、（2016年北京高考）在ABC中，.（1）求的大小；（2）求的最大值.类型三：正弦、余弦定理基本应用例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a，1sin2B，6Cπ，则b.ABCABCabc()()abcabcabC2222acbacB2coscosAC第5页共12页例2.1)(22acbca，则B等于。例3.【2015高考天津，理13】在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC的面积为315，12,cos,4bcA则a的值为.例4.在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=31，求sinA=。例5.【2015高考北京，理12】在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．例6.若△的三个内角满足，则△（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.变：在ABC中，若7:5:3sin:sin:sinCBA，则角C的度数为例7.△的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c=.ABCsin:sin:sin5:11:13ABCABCABC第6页共12页例8.设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且53cosA，135cosB,3b则c类型四：与正弦有关的解的个数思路一：利用表格进行a=bsinA，一解bsinAab，两解a=b，一解ab，一解思路二：利用大边对大角进行筛选例1：在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定例2：在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】A、7a，14b，30A；B、25b，30c，150C；C、4b，5c，30B；D、6a，3b，60B。例3：在ABC中，有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,aoAbabsinAa＝bsinAbsinAaba≥b无解一解两解一解第7页共12页类型五：与CBA有关的问题例1：在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为_____________.变：在△ABC中，已知BCBCcos)sin(2sin，那么△ABC一定是。例2:在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos23cos1ABC.(I)求角A的大小;(II)若ABC的面积53S,5b,求sinsinBC的值.例3:△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝13，求B.例4:在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且b)sinC(2cc)sinB(2b2asinA（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.第8页共12页类型六：边化角，角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos都存在时首先考虑边化角例1:在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；例2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为例3.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例4：(2011·全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.例5：（2016年四川高考）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tanB.第9页共12页例6：（2016年浙江高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B；（II）若△ABC的面积2=4aS，求角A的大小.例7：ABC的内角CBA，，所对的边分别为cba，，.（I）若cba，，成等差数列，证明：CACAsin2sinsin；（II）若cba，，成等比数列，求Bcos的最小值.类型七：面积问题面积公式：例1：设的内角所对边的长分别是，且b=3，c=1，△ABC的面积为2求cosA与a的值；例2:在中，角的对边分别为，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.ABC,,ABC,,abcABC,,ABC,,,3abcB4cos,35AbsinCABC第10页共12页例3：C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量,3mab与cos,sinn平行．（I）求；（II）若7a，2b求C的面积例4．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．例5：（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．例6：（2016年全国I高考）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc（I）求C；（II）若7,cABC△的面积为332，求ABC△的周长．第11页共12页题型八：图形问题例1：如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？例2.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CDm.正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为A．75°B．60°C．45°D．30°3．(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABCA．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为A.518B.34C.32D.785．(2010·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b大小不能确定第12页共12页二、填空题6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝3，b＝3，C＝30°，则A＝7．(2010·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．三、解答题9．△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.10．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab.（1）求角C的大小；（2）又若sinAsinB＝34，判断△ABC的形状．11．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a