倒立摆杆与小车系统matlab求解

例3—5图中为一倒立杆与一水平运动台车铰接而成的机械系统，摆杆长度为2l，质量为m的匀质杆，一端安装在具有粘性阻尼系数的D1的轴承内，台车质量为m1，做水平运动存在黏性阻力Dx,为了使倒立摆杆在台车运动的过程中不到，必须给台车一水平的控制力F，试求系统的微分方程。对于上述系统，建立微分方程，并用matlab软件做出小车摆杆的位移、速度、加速度随时间变化的图形，对于上述系统，我们建立微分方程如下所示：0sin-cos34sin-cos2211mglDxmlmlFxDmlmlxmm）（为了使用matlab解上述微分方程，需要先将方程化成标准形式如下：22111221212)cos(-)lm(m34)sinmlxD-(Fmlcos-)m)(mD-(mglsin)3ml(cos-m)(m4cos3sincos3-4-sin44mlmlDmglxlDmlFlx利用matlab解上述微分方程组，先编写fangchengzu.m文件如下：functionfcz=fangchengzu(t,x)F=20;l=1.2;m=1;m1=5;D1=0.2;D2=0.3;g=9.8;fcz=zeros(4,1);fcz(1)=x(2);fcz(2)=(4*F*l+4*m*l^2*x(4)*sin(x(3))-4*D1*l*x(2)-3*sin(x(3))*cos(x(3))*m*g*l+3*D2*x(4)*cos(x(3)))/(4*l*(m1+m)-3*m*(cos(x(3)))^2);fcz(3)=x(4);fcz(4)=((m*g*sin(x(3))-D2*x(4))*(m1+m)-m*l*cos(x(3))*(F-D1*x(2)+m*l*x(4)*sin(x(3))))/(4/3*m*(m1+m)*l^2-(m*l*cos(x(3)))^2);为了求解，在上述程序的编写时将参数Flmm1D1D2g分别进行赋值，在编写zhuhanshu.m文件，调用ode45（龙格库塔法）进行求解，并绘制图形。clear;clf;t0=0.01:0.01:100;%定义步长x0=[0;2;0;0];%定义初值[t,x]=ode45(@fangchengzu,t0,x0);%用龙格库塔法求解%绘制位移与时间图像subplot(2,3,1),plot(t,x(:,1));title('X方向位移与时间图像');xlabel('时间/t');ylabel('位移/S');gridon;%绘制速度与时间图像subplot(2,3,2),plot(t,x(:,2));title('X方向速度与时间图像');xlabel('时间/t');ylabel('速度/v');gridon;%绘制角度与时间图像subplot(2,3,4),plot(t,180*x(:,3)/pi);title('摆杆角度与时间图像');xlabel('时间/t');ylabel('角度/\theta');gridon;%绘制角速度与时间图像subplot(2,3,5),plot(t,x(:,4));title('摆杆角速度与时间图像');xlabel('时间/t');ylabel('角速度/\omega');gridon;F=20;l=1.2;m=1;m1=5;D1=0.2;D2=0.3;g=9.8;[r,c]=size(x);jiasudu=zeros(1,r);jiaojiasudu=zeros(1,r);fori=1:rjiasudu(i)=(4*F*l+4*m*l^2*x(i,4)*sin(x(i,3))-4*D1*l*x(i,2)-3*sin(x(i,3))*cos(x(i,3))*m*g*l+3*D2*x(i,4)*cos(x(i,3)))/(4*l*(m1+m)-3*m*(cos(x(i,3)))^2);jiaojiasudu(i)=((m*g*sin(x(i,3))-D2*x(i,4))*(m1+m)-m*l*cos(x(i,3))*(F-D1*x(i,2)+m*l*x(i,4)*sin(x(i,3))))/(4/3*m*(m1+m)*l^2-(m*l*cos(x(i,3)))^2);endsubplot(2,3,3),plot(t,jiasudu);title('加速度与时间图像');xlabel('时间/t');ylabel('加速度/a');gridon;subplot(2,3,6),plot(t,jiaojiasudu);title('角加速度与时间图像');xlabel('时间/t');ylabel('角加速度/\alpha');gridon;通过上述程序求解，分别做出位移、速度、角度、角速度与时间的图像如下：分析与总结：1）通过编程求解，可以看出系统在给定初始条件：水平控制力F=20，杆长l=1.2，杆质量m=1，小车质量m1=5，黏性阻力D1=0.2，阻尼系数D2=0.3;重力加速度g=9.8。系统的位移、速度、加速度、杆的角度、角速度、角加速度随时间变化的图像如上图所示，在图像中可以看到，X方向小车的速度不断增加，到达一定时间之后不再增加达到平衡，X方向小车的加速度不断振动，由于阻尼的作用，振动不断衰减，一定时间之后，逐渐趋于零，统统保持匀速运动。摆杆的角度也是不断振动，最终在-180度位置趋于稳定。杆的角速度和角加速度都是不断振动，最后衰减到零。2）改变参数，减小水平控制力F=0.5，增大阻尼系数和黏性阻力D1=0.8，D2=0.9，系统达到平衡所需的时间减小，加速度，角加速度以及角度最终均趋于零，不同的是摆杆的角度在+180度位置保持稳定。