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章末复习课网络构建1．集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意．2．集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.核心归纳3．集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.4．函数与映射的概念(1)已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：A→B.若f：A→B是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A到B的一一映射．(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数．5．函数的单调性(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．(2)函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：①取值：任取x1，x2∈D，且x1x2，得x2－x10；②作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形；③判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；④下结论：根据定义得出结论．(3)证明函数单调性的等价变形：①f(x)是单调递增函数⇔任意x1x2，都有f(x1)f(x2)⇔fx1－fx2x1－x20⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)0；②f(x)是单调递减函数⇔任意x1x2，都有f(x1)f(x2)⇔fx1－fx2x1－x20⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)0.6．函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．解决集合的概念问题的两个注意点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．要点一集合的基本概念【例1】集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．解由题意可知若集合M中只有一个元素，则方程ax2－3x－2＝0只有一个根，当a＝0时，方程为－3x－2＝0，只有一个根x＝－23；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×(－2)＝0，得a＝－98.综上所述，a的取值范围是0，－98.【训练1】已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析因为3∈A，则m＋2＝3或2m2＋m＝3，当m＋2＝3，即m＝1时，m＋2＝2m2＋m，不符合题意，故舍去；当2m2＋m＝3，即m＝1或m＝－32，m＝1不合题意，若m＝－32，m＋2≠2m2＋m，满足题意，故m＝－32.答案－32两集合间关系的判断(1)定义法．①判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；②判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合法．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值．要点二集合间的基本关系【例2】已知集合A＝{x|2x－3≥3x＋5}，B＝{x|x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________．解析解不等式2x－3≥3x＋5得x≤－8，即A＝{x|x≤－8}，因为A⊆B，所以2m－1≥－8，解得m≥－72.答案m≥－72【训练2】已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为()A．2B．－1C．－1或2D．2或2解析由x＝x2－2，可得x≥0，x2－2≥0，x＝x2－2，解得x＝2，∴A＝{2}，又∵B＝{1，m}，A⊆B，∴m＝2.答案A集合基本运算的方法及注意点(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简．(3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集．考查方向要点三集合的基本运算【例3－1】设全集U＝{x∈N*|x6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}解析U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以∁U(A∪B)＝{2,4}．答案D方向1集合的运算方向2利用集合运算求参数【例3－2】(1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3(2)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|xa}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．a≤1B．a≥1C．a≥0D．a≤0答案(1)B(2)B解析(1)由A∪B＝A知B⊆A，所以m＝3或m＝m，若m＝3，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A；若m＝m，即m＝1或0，当m＝1时，m＝1，不合题意，舍去，当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A，故选B．(2)因为A∩B＝∅，所以0∉B，且1∉B，所以a≥1.【训练3】(1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于()A．{x∈R|x≤2}B．{x∈R|1≤x≤2}C．{x∈R|－2≤x≤2}D．{x∈R|－2≤x≤1}(2)设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．答案(1)D(2)k≤6解析(1)A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．(2)因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．要点四求函数的定义域(3)复合函数问题：①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．【例4】(1)函数f(x)＝2x21－x＋(2x－1)0的定义域为()A．－∞，12B．12，1C．－12，12D．－∞，12∪12，1(2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为()A．－13，0B．－13，3C．[0,1]D．－13，1答案(1)D(2)C解析(1)由题意知1－x0，2x－1≠0，解得x1且x≠12，即f(x)的定义域是－∞，12∪12，1.(2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]．【训练4】已知函数f(x)＝－2x＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为()A．[－5,5]B．[－7,13]C．[－1,4]D．[－4,1]解析可以画出函数y＝－2x＋3的图象，再根据图象来求；还可以运用观察法来求，当f(x)＝－5时，x＝4；当f(x)＝5时，x＝－1，所以定义域为[－1,4]．答案C要点五求函数的解析式求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)．(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f1x，使用解方程组法．(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．【例5】(1)已知f(2x－3)＝2x2－3x，则f(x)＝________.(2)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.解析(1)令2x－3＝t，得x＝12(t＋3)，则f(t)＝2×14(t＋3)2－32(t＋3)＝12t2＋32t，所以f(x)＝12x2＋32x.(2)因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝12x＋12.答案(1)12x2＋32x(2)12x＋12【训练5】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，所以a＝2，b＋5a＝17，解得a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．要点六函数的概念与性质【例6】已知函数f(x)＝mx2＋23x＋n是奇函数，且f(2)＝53.(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．解(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴mx2＋2－3x＋n＝－mx2＋23x＋n＝mx2＋2－3x－n.比较得n＝－n，n＝0.又f(2)＝53，∴4m＋26＝53，解得m＝2.因此，实数m和n的值分别是2和0.(2)由(1)知f(x)＝2x2＋23x＝2x3＋23x.任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)1－1x1x2＝23(x1－x2)·x1x2－1x1x2.∵－2≤x1＜x2≤－1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，∴f(x)max＝f(－1)＝－43，f(x)min＝f(－2)＝－53.【训练6】设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(－x)＝f(x)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)f(2a2－4a＋3)，求a的取值范围．解∵f(x)是定义在R上的函数，且f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．又f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又2a2＋a＋1＝2a＋142＋780，2a2－4a＋3＝2(a－1)2＋10，由f(2a2＋a＋1)f(2a2－4a＋3)知，2a2＋a＋12a2－4a＋3，得5a2，a25.∴a的取值范围是a25.要点七函数的