随机过程作业题及参考答案(第一章)

随机过程作业题及参考答案（第一章）—1—第一章随机过程基本概念P391.设随机过程0cosXtXt，t，其中0是正常数，而X是标准正态变量。试求Xt的一维概率分布。解：1当0cos0t，02tk，即0112tk（kz）时，0Xt，则01PXt.2当0cos0t，02tk，即0112tk（kz）时，~01XN，，0EX，1DX.00coscos0EXtEXtEXt.22000coscoscosDXtDXtDXtt.20~0cosXtNt，.则2202cos012cosxtfxtet；.2.利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为cos2tXtt，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。试确定Xt的一维分布函数12Fx；和1Fx；，以及二维分布函数12112Fxx，；，。随机过程作业题及参考答案（第一章）—2—解：12X01kp1212001110122211，；，，xFxPXxxx1X12kp12120111112212，；，，xFxPXxxx随机矢量112，XX的可能取值为01，，12，.而1101122，PXX，1111222，PXX.1212111122，；，，FxxPXxXx1212121200110110122112，或，且或且，且xxxxxxxx3.设随机过程Xtt，总共有三条样本曲线11Xt，，2sinXtt，，3cosXtt，且12313PPP。试求数学期望EXt和相关函数12XRtt，。随机过程作业题及参考答案（第一章）—3—解：11111sincos1sincos3333EXttttt.1212XRttEXtXt，121211111sinsincoscos333tttt121211sinsincoscos3tttt1211cos3tt.4.设随机过程XtXte，（0t），其中X是具有分布密度fx的随机变量。试求Xt的一维分布密度。解：Xt的一维分布函数为：1lnln；XtFxtPXtxPexPXtxPXxt111ln1lnPXxFxtt.X具有分布密度fx，Xt的一维分布密度为：11111lnln；；fxtFxtfxfxtxttxt.P405.在题4中，假定随机变量X具有在区间0T，中的均匀分布。试求随机过程的数学期望EXt和自相关函数12XRtt，。随机过程作业题及参考答案（第一章）—4—解：由题意得，随机变量X的密度函数为100XxTfxT，，其它由定义，000111TTXttxtxtxTEXtEeedxedtxeTTtTt1111TtTteeTtTt.（0t）12121212XttXtXtXRttEXtXtEeeEe，1212120012111TTxttxttedxedxttTTttT121201212111xttTttTeeTttTtt121211TtteTtt.9.给定随机过程Xtt，。对于任意一个数x，定义另一个随机过程10XtxYtXtx，，试证：Yt的数学期望和相关函数分别为随机过程Xt的一维分布和二维分布函数（两个自变量都取x）。证明：设1fxt，和21212fxxtt，；，分别为Xt的一维和二维概率函数，则111xYmtEYtytfxtdxfxtdxFxt，，，.1212122121212YRttEYtYtyyfxxttdxdx，，；，12212121221212xxfxxttdxdxFxxtt，；，，；，.随机过程作业题及参考答案（第一章）—5—若考虑到对任意的tT，Yt是离散型随机变量，则有11100YmtEYtPYtPYtPXtxFxt，.1212YRttEYtYt，121211111010PYtYtPYtYt，，121201010000PYtYtPYtYt，，112221212PXtxXtxFxxtt，，；，.因此，Yt的数学期望和相关函数分别为随机过程Xt的一维分布和二维分布函数。P4114.设随机过程XtXYt，t，而随机矢量XY，的协方差阵为2122，试求Xt的协方差函数。解：依定义，利用数学期望的性质可得12XCtt，1122XYXYEXYtmmtXYtmmt1122XYXYEXmYtmtXmYtmt2XXXYEXmXmEXmtYm112YXYYEtYmXmEttYmYm2112XXXYYXYYCtCtCttC22112122tttt.随机过程作业题及参考答案（第一章）—6—15.设随机过程2XtXYtZt，t，其中X，Y，Z是相互独立的随机变量，各自的数学期望为零，方差为1。试求Xt的协方差函数。解：121122XXXCttEXtmtXtmt，222211112222XYZXYZEXYtZtmmtmtXYtZtmmtmt………………………①X，Y，Z的数学期望均为0，即0Xm，0Ym，0Zm，将其代入①式，得：22121122XCttEXYtZtXYtZt，222222222221121211212EXXYtXZtXYtYttYZttXZtYZttZtt222222222121212121212EXXYttXZttYttYZttttZtt…………②22DXEXEX，222101EXDXEX.同理，21EY，21EZ.X，Y，Z相互独立，0EXYEXEY.同理，0EXZ，0EYZ.将上述结果代入②式，得12XCtt，222222222121212121212EXttEXYttEXZttEYttttEYZttEZ2212121tttt.001110122211，；，，xFxPXxxx