函数的极限【高等数学PPT课件】

一、函数极限的定义第三节函数的极限二、函数极限的性质自变量变化过程的六种形式:一、函数极限的定义引例1.时,函数的极限x()fxoxyxy1定义1注意：xx或lim()xfxA()()fxAx当如果当无限增大(记为)时,所对应的函数值无限趋近于某一个常数A，则称A为函数的极限，记为x()fxx1lim0xx如oxy22y=arctanx，x∈(-∞,+∞)limarctan=2xxlimarctan=2xx如yox2xy,2xx,20xx.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放xyosinyxx引例2.时,函数的极限0xx()fx或0lim()xxfxA0()()fxAxx当设函数在内有定义，如果当自变量x无限接近点x0(但)时,函数值无限趋于某一个常数A,则称A为函数的极限,记为()fx0xx00()Ux定义2这时的极限称为在点x0的左极限,记为如果仅从x0点的左侧趋于x0(),0xx()fx0lim()xxfxA左极限:右极限:定理100lim()((0))xxfxAfxA或00lim()((0))xxfxAfxA或000lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA类似可以定义右极限,记为.0lim()xxfxA例12sin,0()10,005,00()xxxfxxxxxxfx试问函数在处的左、右极限是否存在？当时，的极限是否存在？解答：)(lim0xfx,5)5(lim20xx左极限存在,)(lim0xfx0limsin0,xxx右极限存在,)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim0xfx不存在.二、函数极限的性质2.有界性1.惟一性存在，则极限值惟一.定理1(极限的惟一性)如果函数极限存在，那么在内，0()Ux定理2(局部有界性)如果极限0lim()xxfx函数有界.()fx000lim()0(0)0()()0(()0)xxfxA,AA,,xUx,,fxfx.若且或则当时或(局部保号性)000lim()0()()0(()0)0(0xxfxA,,xUx,,fxfx,AA).若且当时或则或推论13定理xy1sin例2limsinxx不存在01limsin.xx不存在思考与练习1.若极限)(lim0xfxx存在,)()(lim00xfxfxx2.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a3是否一定有1,121,2xxxxa？3.Let.11)(2xxxF(a)Find(i).11)(lim21xxxFx(ii).11)(lim21xxxFx).(lim1xFx(b)Doesexist?(c)SketchthegraphofF.