高等数学导数的计算教学ppt

第二章导数与微分第二节导数的计算第二章导数与微分第一节导数的概念第二节导数的计算第三节函数的微分第二章导数与微分第二节导数的计算第二节导数的计算本节主要内容:一.导数公式及四则运算法则二.复合函数的导数三.隐函数与参数式函数的导数四.高阶导数第二章导数与微分第二节导数的计算3一.导数公式及四则运算法则定理2.2.1设u(x)，v(x)在x可导，则u(x)v(x),u(x)v(x),也在x可导，且有(1)()()()();uxxuxvx()(()0)()uxvxvx(2)()()()()()();uxvxuxvxuxvx2()()()()()(3);()()uxuxvxuxvxvxvx（一）导数的四则运算第二章导数与微分第二节导数的计算4推论1若u(x)在x可导，c是常数，则cu(x)在x可导，且[()]()cuxcux推论2乘积求导公式可以推广到有限个可导函数的乘积．若u,v,w都是区间I内的可导函数()uvwuvwuvwuvw第二章导数与微分第二节导数的计算5解：32()()2()(sin)fxxxx(sin)lnsin(ln)yxxxx例1求f(x)=x3-2x2+sinx在x=0处的导数．234cosxxx(0)1.f例2求y=sinx·lnx的导数．sincoslnxxxx解：第二章导数与微分第二节导数的计算6解：221(cos)(2)(sec)()coscossinsectancosxxxxxxxx例3(2)secyx(1)tanyx222sincoscossin(sin)(1)(tan)()coscos1seccosxxxxxxxxxx(cscx)=-cscxcotx.(cotx)=-csc2x,类似可得第二章导数与微分第二节导数的计算7解：222221(1)(1)(1)(1)1(1)xxxxxyxx例4求的导数．211xyx2222(1)[()(1)][()(1)](1)(1)xxxxx222222(1)2(1)21.(1)(1)xxxxxxx第二章导数与微分第二节导数的计算8（二）反函数的导数定理2.2.2设y=f(x)为x=(y)的反函数．如果x=(y)在某区间Iy内严格单调，可导且(y)0则它的反函数y=f(x)也在对应的区间Ix内可导，且有1d1().d()ddyfxxyxy或第二章导数与微分第二节导数的计算9解：例5求y=arcsinx的导数．221111(arcsin)'(sin)'cos1sin1xyyyx由于y=arcsinx，x(-1,1)为x=siny，y(-/2,/2)的反函数，且当y(-/2,/2)时，(siny)=cosy0．所以第二章导数与微分第二节导数的计算10类似地可得21(arccos)1xx21(arctan);1xx21(arccot).1xx第二章导数与微分第二节导数的计算11解：例6求y=logax(a0,a1)的导数．111(log)()lnlnayyxaaaxa由于y=logax，x(0,+)为x=ay，y(-,+)的反函数，因此特别地，自然对数的导数为1(ln)xx第二章导数与微分第二节导数的计算12（三）导数基本公式)arctan(x)cotarc(xxxe)e()arcsin(x1()xx0)(Caaaxxln)(xxsin)(cosxcos)sin(xaxxaln1)(logxx1)(ln)arccos(x第二章导数与微分第二节导数的计算13例7设，求y．πcos4lntan7yxxx例8设，求y．24logxeyxx解：coscos4lnyxxxxxcos4sin2xxxxx解：24logxeyxx24ln2xxxeexx第二章导数与微分第二节导数的计算14例9设，求f(x)．例10设，求y．221()xxfxx解：解：311222()2fxxxx11322231()22fxxxxarcsin2yxxx34arcsin2yxx1421321xx第二章导数与微分第二节导数的计算15例11设，求f(x)．sin()1cosxxfxx解：2sin1cossin1cos()1cosxxxxxxfxx2sincos1cossinsin1cosxxxxxxxxsin1cosxxx第二章导数与微分第二节导数的计算16二.复合函数的导数定理2.2.3设函数y=f(u)与u=(x)可以复合成函数y=f[(x)]，如果u=(x)在x0可导，而y=f(u)在对应的u0=(x0)可导，则函数y=f[(x)]在可导，且有000()()xxdyfuxdx即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.第二章导数与微分第二节导数的计算17设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且.ddddddxuuyxy设y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数y=f[((x))]也可导，dydydudvdxdudvdx第二章导数与微分第二节导数的计算18例12设y=sin3x，求y．例13设y=(x3+3x+1)2，求y．cos333cos3yxxx解：解：33322313123133yxxxxxxx第二章导数与微分第二节导数的计算19例14设，求y．2tanxye解：2tan2tanxyex2tan222secxexx2tan2222secxexx第二章导数与微分第二节导数的计算20例15求y=ln(-x)的导数．即y=ln(-x)可由y=lnu,u=-x复合而成，则有11(1)dyduydudxux1(ln||)xx解：第二章导数与微分第二节导数的计算21y=ln|f(x)|可由y=ln|u|,u=f(x)复合而成，则有例16求y=ln|f(x)|的导数(f(x)0且f(x)可导)．1()()()dydufxyfxdudxufx在我们运用公式比较熟练以后，解题时就可以不必写出中间变量，从而使求导过程相对简洁．解：第二章导数与微分第二节导数的计算22例17求y=ln|secx+tanx|的导数．1sectansectanyxxxx解：21sectansecsectanxxxxxsecx验证：.lncsccotcscxxx第二章导数与微分第二节导数的计算23例18求的导数．3arctan1yx解：331111yxx333111221xxx2333221xxx第二章导数与微分第二节导数的计算24例19求的导数．2ln(1)yxx解：22111yxxxx22121121xxxx211x第二章导数与微分第二节导数的计算25例20求y=2xsecx+(arctanx3)2的导数．coscos2sec32sec3xxyxx解：coscos2ln2cossec32sec3tan33xxxxxxxcoscos2ln2sinsec332sec3tan3xxxxxx第二章导数与微分第二节导数的计算26例21设函数f(x)在[0,1]上可导，且y=f(sinx)+2f(x3)求y．3[(sin)][2()]yfxfx32(sin)cos6()fxxfxx解：第二章导数与微分第二节导数的计算27隐函数：由含x，y的方程F(x,y)=0给出的函数称为隐函数.例如：三.隐函数与参数式函数的导数3221sinyx,zxy.2/32/32/333330xya,xyzxy.显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：（一）隐函数的导数第二章导数与微分第二节导数的计算28例22设y=f(x)是由方程ey+xy-y2=0所确定的隐函数，求y．eyy+y+xy+2yy=0②从中解出y，得：①在方程ey+xy-y2=0中把y看作x的函数，方程两边对x求导，得'2yyyyxe解：第二章导数与微分第二节导数的计算29注：在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含有因变量y，通常不能也无须求得只含自变量的表达式.隐函数的求导法则：隐函数的求导办法是：①在方程两边同时对自变量求导（注意y是的x函数），即可得到一个含y的方程；②从中解出y，即为所求隐函数的导数。第二章导数与微分第二节导数的计算30例23求椭圆2x2+y2=6在点（1，2）处的切线方程．4x+2yy=0②从中解出y，得：①方程两边对x求导，得2'xyy由此得出(1,2)1y从而y=y(x)在（1，2）处的切线方程为.3yx解：第二章导数与微分第二节导数的计算31具体方法：先两边取对数，且利用对数的性质化简，再两边同时对自变量求导数，然后求得y.适用对象：这个方法适用于幂指函数（形如f(x)g(x)的函数）以及由几个含有变量的式子的乘、除、乘方、开方构成的函数.对数求导法：第二章导数与微分第二节导数的计算32211122()311xyyxxx2221(1)122()3(1)11xxxyxxxx例24求的导数.322(1)(1)xxyx①两边取对数得21lnlnln(1)2ln1.3yxxx②对x求导得所以解：第二章导数与微分第二节导数的计算3312(cos2)lnsin2yxxxyxsin2sin22(cos2)lnxxyxxxx例25求的导数.sin2(0)xyxx①两边取对数得ln(sin2)lnyxx②对x求导得所以解：第二章导数与微分第二节导数的计算34(二)参数式函数的导数()()xxttyyt由参数方程给出的函数：确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且x(t)0,，则函数y=f(x)可导且)()(dd1ddddddddtxtytxtyxttyxy.)()(ddtxtyxy第二章导数与微分第二节导数的计算35222,ln(1)xttyt例26求的导数222d()d()[ln(1)][2](1)(1)yytxxttttttt解：第二章导数与微分第二节导数的计算36例27求(a为常数)(0t2)，求：(1)在任何点的切线斜率;(2)在t=/2处的切线方程．(sin),(1cos)xattyat22dcot1d2ttytx(1)摆线在任意点的切线斜率为d[(1cos)]sincotd[(sin)]1cos2yatttxattt(2)当t=/2时,摆线上对应点为,在此点的切线斜率为((1),)2aa解：第二章导数与微分第二节导数的计算37于是,切线方程为(1)2yaxa即(2)2yxa第二章导数与微分第二节导数的计算38四.高阶导数定义：设yf(x)在D上可导，其导数为f(x)，如果函数yf(x)的导数仍是x的可导函数,就称y