12020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题参考答案一、填空题1.已知向量ba,满足3ba,62ba,9222bbaa,则b.答案:7解析:由条件,知92222bababbaa,所以babab2322babababababa222227363,所以b7.2.设4321,,,iai均为实数,若集合},,,{4321aaaa的所有非空真子集的元素之和为28,则4321aaaa.答案:4解析:含有元素4321,,,iai的非空真子集有7个,所以},,,{I4321aaaa的所有非空真子集的元素之和为2874321aaaa,从而4321aaaa4.3.若二次实系数方程20axbxc有2个虚根12,xx,且31xR,则2acb.答案:1解析:注意21xx,由3333311112xRxxxx221211220xxxxxx222112212120xxxxxxxx2221bcacbacaab.4.设圆22:5Oxy与抛物线2:20Cypxp交于点0,2Ax,AB为圆O的直径,过B的直线与C交于两不同点,DE,则直线AD与AE的斜率之积为.答案:2解析:可求得点1,2,1,2AB,设1122,,,DxyExy,则由,,BDE三点共线可得12121212222411yyyyyyxx12121212221621124ADAEyykkxxyyyy.5.若实数,xy满足32224log1360xxyy,则xy.答案:1解析:令1sx,则224023xsxs;令1ty,则32log1360yy2log3tt.注意函数2xy与2logyx的图像关于直线yx对称,且函数3yx的图像也关于直线yx对称,而2yx与3yx的交点横坐标为32,所以3st,从而21xyst.6.若,xy为实数,则2,,1xyxyy这三个数中的最大数的最小值是.答案:12解析:111max2,,122312231662xyxyyxyxyyxyxyy,当且仅当10,2xy时取到最小值.7.四面体ABCD中,,,2ABBCCDBCBC,且异面直线AB与CD所成的角为60.若四面体ABCD的外接球半径为5,则四面体ABCD的体积的最大值为.答案:23解析:考察直三棱柱11ABDACD,其中12,60BCABD,则四面体ABCD为满足题设条件的四面体,且四面体ABCD的外接球与三棱柱11ABDACD的外接球相同.设三棱柱底面三角形1ABD的外接圆半径为r,则22522BCrr.1ABD中,由正弦定理,111223sinADrADABD;再由余弦定理,22211112cosADABBDABBDABD221112ABBDABBD,从而由均值不等式可得112ABBD,所以1111111sin23332ABCDABDACDVVABBDABDBC,当三棱柱11ABDACD为正三棱柱时可取等,故四面体ABCD的体积的最大值为23.8.有长为20,1,,1009nn的线段各三条,则由这3030条线段能构成不全等的三角形的个数为.(用数字作答)答案:510555解析:(1)若01009ijk,则1222222ijjjjk,那么2,2,2ijk一定不构成三角形;(2)若01009ij,则12222iiij,那么2,2,2iij一定不构成三角形;(3)若01009ij,则222,222ijjjji,那么2,2,2ijj一定构成三角形;(4)若01009k,则2,2,2kkk一定构成等边三角形.综合(1),(2),(3),(4)知,构成三角形的只能是2,2,2ijjij或等边三角形,共有210101010510555C个.二、解答题9.设实数0,t,若关于x的方程cos1cosxtx有解,求t的取值范围.解:原方程等价于1coscos222ttx,……………………4分当t时,方程左边等于0,显然无解;3当0,t时,方程进一步等价于1cos22cos2txt,注意cos1,12tx,且cos02t,故方程有解当且仅当1012cos2t……………………12分即1cos122t,解得03t.综上,0,3t.……………………16分10.已知椭圆2222:10xyCabab与直线2xb有且只有一个交点,点P为椭圆C上任一点,121,0,1,0PP,且12PPPP的最小值为2a.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线:lykxm与椭圆C交于不同两点,AB,点O为坐标原点,且12OMOAOB,当AOB的面积S最大时,求22112TMPMP的取值范围.解:(1)设点,Pxy,由题意知2ab,222:2Cxya,则22221211PPPPxyya,当yb时,12PPPP取得最小值,即2212aab,212,222aaab,故椭圆C的22142xy;……………………5分(2)设112200,,,,,AxyBxyMxy,则由2224xyykxm得222214240kxmkxm2121222424,2121mkmxxxxkk,点O到直线l的距离21mdk,22222211424142221211mmkmSdABkkkk422222222424222222121mkmmkmkkS取得最大值2,当且仅当22242mkm即2221mk,①……………10分此时21200022221,221xxmkkkxykxmmkmmm,即00001,22xmmkxyy代入①式整理得22000102xyy,即点M的轨迹为椭圆221:102xCyy且点12,PP为椭圆1C的左、右焦点,即1222MPMP……………15分记1tMP,则21,21t从而222211112222242TMPttttMP,则322Tt,令0T可得1t,即在T在21,1单调递减,在1,21单调递增,且1342,21121542TTT,故T的取值范围为342,1……………20分11.已知数列na满足12211,3,3nnnaaaaa.(1)求证:*21nnaanN是完全平方数;(2)记2211nnnnnaabaa,求证:20202kkb是整数.(其中x表示不超过x的最大整数,xxx.)解:(1)易知38a,且na为整数.用归纳法证明2211nnnaaa:奠基:当1n时,213211189aaa,成立;假设nk时,2211kkkaaa,则当1nk时,21312112111313kkkkkkkkaaaaaaaa212221233kkkkkkkkaaaaaaaa,那么1nk也成立;由归纳原理,知2211nnnaaa成立,故21nnaa是完全平方数.……………10分(2)由(1)知2121nnnnaaaa,所以22kkkabka,于是2020202120222021202222324kkaaaabaa.……………15分由213nnnaaa知2mod3nnaa,及20mod3a,所以20223a;又12211,3,3nnnaaaaa,记nb为na除以8的余数,则nb前六项为1,3,0,5,7,0,由数学归纳法易知nb为周期数5列,所以20228a;故2021202224aa是整数,即证.……………20分