2020年全国数学联赛(四川预赛)试题

2020年全国数学联赛(四川预赛)试题及详答一、填空题：本题共8小题，每题8分，共64分。1.设△ABC的外接圆的圆心为O.且0543OCOBOA，则∠C的大小是。2正四面体的4个表面上分别写有数字1，2，3,4,将4个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的和能被4整除的概率是。8.设函数422412222xxxxxf(x∈R)，则f(x)的最大值λμ是。4.在平面直角坐标系中，A(1，2).B(3，0)，点P为圆(x-3)2+(y-2)2=1上任意一点，设OBOAOP(λ,μ∈R)，则11λ+9μ的最小值是____.5.数列{an}满足:a0=6,nnnaaa11(其中[an]和{an}分别表示实数a.的整数部分与小数部分)。则a2020=。6.已知正实数xy满足:12131yxyx，则x+y的最小值是。7.设复数:z=a+bi(a,b∈Z),满足:z3=2+11i.则a+b=。8.用[x]表示不超过实数x的最大整数，若数列{an}满足:nna2)32((n∈N*)，则a2020的末尾两位数字是。二、解答题:本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.(本题满分16分)过点P(0,1)作一直线l,l与抛物线y=x2交于A、B两不同点，过点A、B分别作抛物线y=x2的切线，两切线交于点Q.求点Q到直线AB的距离的最小值。10.(本题满分20分)设λ为正实数，对任意两两不等的正实数a、b、c.都有:cbabacacbcba232323,求λ的最大值。11(本题满分20分)设m是给定的正整数.求证:对任意给定的正整数n(n≥2),都存在集合A={a1,a2,…,an}N*,使得对任意正整数k（1≤k≤n）,都有kkaAPma)(，其中P（A）表示集合A的元素之积。