二次函数与一元二次方程、不等式的关系(课堂PPT)

1§21.3二次函数与一元二次方程、不等式的关系用数学视觉观察世界用数学思维思考世界2温故知新（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为；与y轴的交点为。？（2，0）（2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（0，6）X=2你能说说（1）与（2）之间的联系吗？方法与规律：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根2xyo63探究探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在轴上，∴它们的纵坐标为0，∴令y=0，则x2-3x+2=0解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0），B（2，0）你发现方程的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0OABx1x2y4结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（），B（）x1，0x2，0xOABx1x2y5探究2、抛物线与X轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac＜0OXY6有两个交点方程有两个不相等的实数根b2-4ac0只有一个交点方程有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点方程没有实数根b2-4ac0xyo..xyoxyo结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：722690,30xxxx观察下列图象，分别说出一元二次方程的根的情况。21226903.30.xxxxxx答案:方程的解是方程无实数根269xxy=23xxy=简单运用81、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b=。2、若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图象过原点，则m=。±8-8二、基础训练3、根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个解的范围是（）Ａ、3＜x＜3.23Ｂ、3.23＜x＜3.24Ｃ、3.24＜x＜3.25Ｄ、3.25＜x＜3.26C9二、基础训练4、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a；若抛物线与x轴有两个交点，则a；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a；6、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p=，q=。5、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴至少有一个交点，则a的范围是。10三、拓展应用练习1.已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A、k＜4B、k≤4C、k＜4且k≠3D、k≤4且k≠3D11练习2.关于x的二次函数y=(k-1)x2-3x-1的图像全部位于x轴的下方，则k的取值范围是；k＜-5/4知识小结：(1)抛物线y=ax2+bx+c全部在x轴上方的条件：a__0,b2-4ac__0；(2)全部在x轴下方的条件：a__0,b2-4ac__0＞＜＜＜12.已知二次函数的图像与X轴有两个不同的交点.（1）求k的取值范围（2）当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.97k能力提升解：△=∵＞0∴k的取值为3628k3628k267ykxx解：解之得：k的取值为∴11k222121212()250,xxxxxx267()2()50,kk97k11k25182k25182k13要点小结一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程。14三、课后习题已知二次函数y=x2-kx+k-2.(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数y=x2-kx+k-2与x轴有两个不同的交点。(2)如果二次函数y=x2-kx+k-2与轴两个交点为A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC.15四、小结1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0）2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数形结合的思想。16•当x取何值时，y＜0？•当x取何值时，y＞0？•能否用含有x的不等式来描述两个问题？223yxx探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？xyy＝x2－2x－3根据图象回答下列问题．17例题精讲3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；(1)方程-x2+3x+4=0的解是_____(2)不等式-x2+3x+40的解集是____(3)不等式-x2+3x+40的解集是___xyo12345-1-21234-1-2-3-4-5x=-1,x=4X-1或x4-1x418九、如何求当x为何值时，y0,y=0,y00x1x2xy当x=x1或x=x2时,y=0当xx1或xx2时,y0当x1xx2时,y0xyx1x2Oxyx1x2当x=x1或x=x2时,y=0当xx1或xx2时,y0当x1xx2时,y019Oxy-212、、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函数值y的取值范围是。1、如图求当x为何值时，y0,y=0,y0y≥220X2X1xy0OxX1=X2xyxOxy⊿0⊿＝0⊿＜0x1＝x2x1=x2＝－b/2a没有实数根xx1或xx2x≠x1的一切实数所有实数x1xx2无解无解21试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:1①-x2+x+2=0;②-x2+x+20;③-x2+x+20.2①x2-4x+4=0;②x2-4x+40;③x2-4x+40.3①-x2+x-2=0;②-x2+x-20;③-x2+x-20.Xy02Oxy-12Xy0y=-x2+x+222拓广：•函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么1）方程ax2+bx+c=2的根是__________;2）不等式ax2+bx+c2的解集是_________;3）不等式ax2+bx+c2的解集是_________;3-1Oxy2(4,2)(-2,2)X1=-2;X2=4X-2;X4-2X423联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.