相似模型分类讲解及练习

初中数学压轴公众号相似模型部分模型【课程导入】相似三角形判定的基本模型平行线型：A字型X字型A、X混合型相交线型：DCBACDBAADECB母子型双垂直（射影定理）旋转型三垂直一线三等角你能找到每个图中的相似三角形吗？【漫漫学】1平行线型（A字型和X字型及变形）添加平行线构造相似添构造相似三角形的基本图形。初中数学压轴公众号GFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBA【例1】已知：如图，AD是ABC的中线。求证：（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求BFAF;（2）若E为AD上的一点，且kEDAE1，射线CE交AB于F，求BFAF。【练习1.1】已知，如图，D是BC边的延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC。求：AF与FB的比值。【练习1.2】在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：当11121ACAE时，有12232ADAO（如图1）初中数学压轴公众号图1图2图3图4（2）当21131ACAE时，有22242ADAO（如图2）（3）当31141ACAE时，有32252ADAO（如图3）在图4中，当nACAE11时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）．添加垂线线构造相似添构造相似三角形的基本图形。结论为:111EFABCD【例2】已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明111ABCDEF成立（不要求考生证明）．若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：（1）111ABCDEF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；初中数学压轴公众号（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．【练习2.1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．初中数学压轴公众号27.2.2相交线型母子型（→双垂直）由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，故被称为“母子型”．图1图2当图1中∠BAC=90°时，模型由“母子型”就变成“双垂直”．由图1可得：．由图2可得：．（射影定理）【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于G，AE·AD=16，AB=45．（1）求证：CE=EF；（2）求EG的长．【练习3.1】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°．（1）求证：△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S．初中数学压轴公众号旋转型通过“旋转型”相似三角形的特征：1、由一点发出四条线段对应成比例；ABACADAE2、两对相似三角形；ABCADEABDACE∽和∽3、BDABADCEACAE旋转型的几何模型图：【例1】如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，2DE，1AB．将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．图1图2图3解答问题：（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得AMDM的值为；②在平移过程中，AMDM的值为（用含k的代数式表示）；（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算AMDM的值；（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，0≤90，原题中的其他条件保持不变．计算AMDM的值（用含k的代数式表示）．初中数学压轴公众号【练习3.1】（2014门头沟一模24）已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.（1）如图1，当α=60°时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；___________；（2）如图2，当α=45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；（3）如图3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中090a）ECBADECBADCBAD图1图2图3初中数学压轴公众号三垂直（→一线三等角）根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形。三垂直（→一线三等角）的几何模型：三垂直一线三等角【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=∠C=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．（1）求证：△ABP∽△PCE；（2）在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC=5∶3?如果存在，求出BP的长，如果不存在，请说明理由．【练习4.1】如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作初中数学压轴公众号EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设ABkAD，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）C．（1）（2）D．（2）（3）【练习4.2】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．①求证：△ABD∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．初中数学压轴公众号延时检测:1．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（）3分钟A．5×（32）2009B．5×（94）2010C．5×（94）2008D．5×（32）40182．等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．5分钟初中数学压轴公众号前情回顾：4.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）4分钟A.12B.23C.34D.1C1B1OA1ACB5.如图，△ABC和△A1B1C1均为等边三角形，点O既是AC的中点，又是A1C1的中点，则AA1∶BB1=.6分钟如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．初中数学压轴公众号【练习1.3】数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其取值范围．（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线－－过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．【即时检测】2.如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点F，E恰好是CD的中点，求证：BF2=12AF2．3分钟初中数学压轴公众号【即时检测】3．如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，求AG：DF：CE=_________．5分钟ABCDEFGGFEDCBA【即时检测】4．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，求小正方形的边长．