数形结合思想

数形结合思想数形结合思想主干知识整合│主干知识整合数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．数形结合是历届高考的重点和热点．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其中“以形助数”是其主要方面，其方法的关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形，利用图形探求解题途径，对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果，对于解答题要重视数形转换的等价性论述，避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质．函数的图象、方程的曲线、集合的韦恩图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台．要点热点探究│要点热点探究►探究点一数形结合在向量中的应用向量作为数学的一个基本概念，成了沟通代数、几何与三角函数的工具．由于既有代数表示，也有几何表示，成为了数形结合的重要载体．│要点热点探究例1已知a，b为不共线的向量，设条件M：b⊥(a－b)；条件N：对一切x∈R，不等式|a－xb|≥|a－b|恒成立．则M是N的________条件．│要点热点探究例1充要【解析】方法一：构造直角三角形OAB，其中a＝OA→，b＝OB→，xb＝OD→，则a－b＝BA→，由b⊥(a－b)得∠ABO＝90°，当点D与点B不重合时，由斜边大于直角边得|a－xb||a－b|，当点D与点B重合时|a－xb|＝|a－b|，反之也成立，故M是N的充要条件．方法二：将不等式|a－xb|≥|a－b|两边平方后转化为b2x2－2a·bx＋2a·b－b2≥0对于任意实数x恒成立，Δ＝4a·b2－4b22a·b－b2＝4b2－a·b2≤0，即b2－a·b＝0，b(b－a)＝0，所以有b⊥(a－b)．│要点热点探究【点评】本题对于不等式|a－xb|≥|a－b|的处理，方法一用的是构造向量a－xb和a－b的图形，利用几何特征来求出最值，方法二是利用代数方法将模进行平方转化为一元二次不等式的恒成立问题．要点热点探究已知OA→＝(3，－4)，将OA→绕着原点逆时针旋转45°后得到向量OD→，则D点的坐标为________．722，－22【解析】方法一：设D(x，y)，由题意可得|OD→|＝|OA→|，cos〈OA→，OD→〉＝22，所以x2＋y2＝25，3x－4y25＝22，解得x＝722，y＝－22或x＝－22，y＝－722.又OD→是由OA→绕着原点逆时针旋转45°所得，由图可知D坐标为722，－22.│要点热点探究方法二：如图，将OA→所在射线看作α的终边，x正半轴看作始边，由三角函数定义可得A(5cosα，5sinα)，即OA→＝(5cosα，5sinα)，又将OA→绕着原点逆时针旋转45°后得到向量OD→，所以OD→＝5cosα＋π4，5sinα＋π4＝225cosα－5sinα，225sinα＋5cosα＝722，－22.│要点热点探究►探究点二数形结合在解析几何中的应用解析几何主要研究的是图形的特征以及图象间的位置关系．初中是直接运用定理进行证明研究，高中则是通过建立直角坐标系，用点的坐标和曲线的方程，通过代数方法来计算图形的特征和位置关系等问题，其本质原因是高中阶段对几何问题的研究牵涉具体的长度、角度、面积等，故需要用代数方法来研究几何问题．│要点热点探究例2在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为⊙M.(1)如果⊙M半径为1，l与⊙M切于点C32，1＋32，求直线l的方程；(2)如果⊙M半径为1，证明当△AOB的面积最小、周长最小时，此时△AOB为同一三角形．│要点热点探究【解答】(1)由题知M(1,1)，则kMC＝3，kl＝－33.∴l：y＝－33x＋3＋1.(2)设A(a,0)，B(0，b)(a2，b2)，l：bx＋ay－ab＝0.M到AB的距离d＝|b＋a－ab|a2＋b2＝1，整理得ab－2(a＋b)＋2＝0，ab＋2＝2(a＋b)≥4ab，ab≥2＋2，ab≥6＋42，当且仅当a＝b＝2＋2时，ab＝6＋42.面积S＝12ab≥3＋22，故Smin＝3＋22，此时△AOB是直角边长为2＋2的等腰直角三角形．周长L＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝(2＋2)ab≥(2＋2)2＝6＋42，故Lmin＝6＋42，此时△AOB是直角边长为2＋2的等腰直角三角形．∴此时的△AOB为同一三角形．│要点热点探究【点评】解析几何中的常见的定值、定点、最值问题，一般都是通过代数方法构造相应的方程或函数，利用方程的思想、函数的思想来解决问题．本题中的面积和长度都是关于a，b的二元函数，故考虑用基本不等式来求最值．│要点热点探究►探究点三数形结合在函数中的应用函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面刻画函数的变化规律．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探究解题途径，获得问题结果的重要工具．函数图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要互相转化，尤其是在处理较为繁琐的问题时，要充分发挥图象的直观作用．要点热点探究例3函数f(x)＝(2x－1)2，g(x)＝ax2(a0)，满足f(x)g(x)的整数x恰有4个，则实数a的取值范围是________．│要点热点探究4916，8125【解析】在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f(x)＝(2x－1)2，g(x)＝ax2的图象，则由两个函数的图象可知，y＝f(x)，y＝g(x)在区间(0,1)内总有一个交点．令h(x)＝f(x)－g(x)＝(4－a)x2－4x＋1，要使满足不等式(2x－1)2ax2的整数恰有4个，则需h40，h5≥0⇒49－16a0，81－25a≥0⇒4916a≤8125.│要点热点探究【点评】本题也可以解二次不等式得－ax2x－1ax，但进一步探讨其整数解的个数较为困难．通过对函数图象的研究不难发现有一交点在(0,1)内，则另一交点必在(4,5]内．当从函数解析式研究函数性质较为困难时，可以考虑结合函数的图象来研究，同样地，如果通过函数图象研究函数性质不准确时，也可以借助函数的解析式来研究．│要点热点探究例4我们用min{s1，s2，…，sn}和max{s1，s2，…，sn}分别表示s1，s2，…，sn中的最小者和最大者．(1)设f(x)＝min{sinx，cosx}，g(x)＝max{sinx，cosx}，x∈[0,2π]，函数f(x)的值域为A，函数g(x)的值域为B，求A∩B；(2)现有老师提出了下面的问题：设a1，a2，…，an为实数，若x∈R，求函数f(x)＝a1|x－x1|＋a2|x－x2|＋…＋an|x－xn|(x1x2…xn，xi∈R，i＝1,2,3，…，n)的最值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数f(x)＝|x＋2|＋3|x＋1|－|x－1|和g(x)＝|x＋1|－4|x－1|＋2|x－2|的最值．学生甲得出的结论为：f(x)min＝min{f(－2)，f(－1)，f(1)}，且f(x)无最大值；学生乙得出的结论为：g(x)max＝max{g(－1)，g(1)，g(2)}，且g(x)无最小值．请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其是否正确．│要点热点探究【解答】(1)在同一坐标系中画出y＝sinx，y＝cosx的图象可得f(x)＝sinx0≤xπ4，cosxπ4≤x5π4，sinx5π4≤x≤2π，g(x)＝cosx0≤xπ4，sinxπ4≤x5π4，cosx5π4≤x≤2π，所以A＝－1，22，B＝－22，1，即A∩B＝－22，22.│要点热点探究(2)若选择学生甲的结论，说明如下：f(x)＝－3x－6x≤－2，－x－2－2x≤－1，5x＋4－1x≤1，3x＋6x1，图象如右：根据图象可得：函数f(x)在(－∞，－2]上是减函数，在(－2，－1]上是减函数，在(－1,1]上是增函数，在(1，＋∞)上是增函数．所以函数f(x)min＝min{f(－2)，f(－1)，f(1)}，且f(x)无最大值．故学生甲的结论是正确的│要点热点探究若选择学生乙的结论，说明如下：g(x)＝x－1x≤－1，3x＋1－1x≤1，－5x＋91x≤2，－x＋1x2，图象如下：由图象可得：函数g(x)在(－∞，－1]上是增函数，在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是减函数．所以g(x)max＝max{g(－1)，g(1)，g(2)}，且g(x)无最小值．故学生乙的结论是正确的．│要点热点探究【点评】本题实为取大，取小函数，直接用代数式进行比较很难进行或需要分多种情况讨论，故考虑借助图象的直观性来解决几个函数中的最大或最小的问题．规律技巧提炼│规律技巧提炼1．数形结合，数形转化常应用于以下几个方面：(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数与图象的对应关系，导数的几何意义；(3)解析几何中方程的曲线与方程的关系；(4)以几何元素和几何条件为背景建立的概念，如三角函数和向量；(5)所给代数式的结构含有明显的几何意义，如斜率、截距和距离等．2．数形结合的思想简而言之就是代数问题几何化，几何问题代数化，充分利用图形的直观性和代数推理的合理性和严密性研究问题．