搜索
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组2.5一元一次不等式与一次函数第1课时一元一次不等式与一次函数的关系1课堂讲解一元一次不等式与一次函数的关系一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1．一次函数的基本形式是什么？2．一次函数的性质有哪些？复习回顾1知识点一元一次不等式与一次函数的关系函数y＝2x－5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：(1)x取何值时，2x－5＝0？(2)x取哪些值时，2x－5＞0？(3)x取哪些值时，2x－5＜0？(4)x取哪些值时，2x－5＞1？你是怎样思考的？与同伴交流.知1－导（来自《教材》）知1－讲作出一次函数y=2x－5的图象如右，(2.5,0)观察图象回答下列问题:(1)x取哪些值时,y=0?(2)x取哪些值时,y0?x2.5时,y0;x=2.5时,y=0;(3)x取哪些值时,y0?x2.5时,y0;(4)x取哪些值时,y3?x4时,y3;0x123-141-1-23-4-32-5-6y知1－讲将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”所以，将(1)～(4)中的y换成2x－5，则，原题“关于一次函数的值的问题”就变成了“关于一次不等式的问题”.能否把“关于一次不等式的问题”变换成“关于一次函数的值的问题”？1．一次函数和一元一次不等式的联系：任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为常数)的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b在x轴上方的部分或在x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围．知1－讲知1－讲直线y＝x－1在x轴上方的点对应的x应满足x－10，∴x＞1.∴选A.导引：对于直线y＝x－1，在x轴上方的点对应的x的取值范围是()A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1例1A总结知1－讲本题的实质就是把函数问题转化为不等式的问题去解决．知1－讲解这类题目的关键是要将比较函数值的大小的问题转化成解不等式的问题．导引：已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时，(1)y1＞y2？(2)y1＝y2?(3)y1＜y2?例2解：知1－讲方法二：图象法．在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．观察图象可知，当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.根据问题可寻找代数法和图象法两种途径，用代数法将其转化为解不等式，用图象法确定一元一次不等式的解集其方法是：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两条直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集．总结知1－讲1知1－练已知y1＝－x＋3，y2＝3x－4，当x取哪些值时?y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.74当y1＜y2，即－x＋3＜3x－4时，解得x＞.所以当x＞时，y1＜y2.解：74知1－练已知y1＝－x＋5，y2＝5x－4.(1)当x________时，y1＝y2；(2)当x________时，y1y2；(3)当x________时，y1y2.23232＜32＞知1－练【中考·永州】已知一次函数y＝kx＋b的图象经过两点A(0，1)，B(2，0)，则当x________时，y≤0.【2016·百色】直线y＝kx＋3经过点A(2，1)，则不等式kx＋3≥0的解集是()A．x≤3B．x≥3C．x≥－3D．x≤034≥2A知1－练【2017·湘潭】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是()A．x≥2B．x≤2C．x≥4D．x≤45B知1－练【2016·济南】如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为()A．x＞B．x3C．xD．x＜363232C知1－练【2017·菏泽】如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2xax＋3的解集是()A．x2B．x2C．x－1D．x－17D知1－练一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当x＝3时，y1＝y2；④不等式kx＋b＞x＋a的解集是x＜3.其中正确的结论个数是()A．0B．1C．2D．38D2知识点一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答：(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；(2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；(3)利用方程的解或不等式的解集及实际情况给出相应的决策．知2－讲函数y＝3x与y＝2x＋k的图象的交点坐标就是的解，这个方程组的解为根据交点在第三象限，且第三象限的点的坐标特征为x0,y0，得k0,3k0,∴k0.例3若正比例函数y＝3x和一次函数y＝2x＋k的图象的交点在第三象限，则k的取值范围是______．知2－讲导引：32yxyxk＝，＝＋3xkyk＝，＝，k0本题中的等量关系为“所需费用＝购进A，B两种树苗的费用和”，列出函数关系式，进而利用函数的性质求解．例4为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．(1)y与x的函数关系式为________；(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．知2－讲导引：(1)y＝－20x＋1890(2)由题意，得x＜21－x，解得x＜10.5.又∵x≥1，∴1≤x＜10.5且x为整数，由一次函数的性质，得当x＝10时，y有最小值，为－20×10＋1890＝1690，∴最省方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．知2－讲解：例5知2－讲某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？（来自《教材》）设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则y1＝200×0.75x,即y1＝150x;y2＝200×0.8(x－1)，即y2＝160x－160.由y1＝y2，得150x＝160x－160，解得x＝16;由y1＞y2，得150x＞160x－160，解得x＜16;由y1＜y2，得150x＜160x－160，解得x＞16.因为参加旅游的人数为10至25人，所以，当x＝16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.知2－讲解：（来自《教材》）知2－讲在本节问题中，一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态.因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的相关问题.总结（来自《教材》）知2－练如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数关系图象．下列说法：①买2件时，甲、乙两家销售价一样；②买1件时，买乙家的合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件销售价约为3元．其中正确的说法是()A．①②B．②③④C．②③D．①②③1D知2－练某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程为xkm计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是()A．当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司收取的租赁费用相同B．当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算C．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司多D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司少2D1.一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围．从图象上看，ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集⇔直线y＝ax＋b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．1知识小结2.一次函数、一元一次不等式与一元一次方程这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题．解题时一般情况下分以下步骤解答：(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；(2)分三种情况进行比较，解每种情况对应的x或y值；(3)利用方程的解或不等式的解集对实际情况作相应的决策．若一次函数y＝ax＋b(a0)的图象与x轴的交点坐标是(m，0)，则关于x的一元一次不等式ax＋b≤0的解集应为()A．x≤mB．x≤－mC．x≥mD．x≥－m易错点：忽略一次函数的增减性，导致错误地求得不等式的解集2易错小结A画出草图如图所示，观察图象可知，解集应为x≤m.故选A.一次函数y＝kx＋b中系数k的符号决定了函数值y随x的变化规律，当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小．因此当y≤0时，x≥－还是x≤－(－是一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标)要看k的符号，或者画出一次函数的草图后根据图象得出结论．本题容易误选C.易错总结：bkbkbk