概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

概率论与数理统计习题解答1第一章思考题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死”，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率1415926.3是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个记录保持了1000多年!以后有人不断把它算得更精确.1873年,英国学者沈克士公布了一个的数值,它的数目在小数点后一共有707位之多!但几十年后,曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了的608位小数,得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}ijij（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成.{(,)0,0}xyxy2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记A“甲中靶”B“乙中靶”C“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：;A(2)“甲中靶而乙未中靶”：;BA(3)“三人中只有丙未中靶”：;CAB(4)“三人中恰好有一人中靶”：;CBACBACBA概率论与数理统计习题解答2(5)“三人中至少有一人中靶”：;CBA(6)“三人中至少有一人未中靶”：;CBA或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”：;BCACBACAB(8)“三人中至少两人中靶”：;BCACAB(9)“三人均未中靶”：;CBA(10)“三人中至多一人中靶”：;CBACBACBACBA(11)“三人中至多两人中靶”：;ABC或;CBA3.设,AB是两随机事件，化简事件(1)()()ABAB(2)()()ABAB解:(1)()()ABABABABBB,(2)()()ABAB()ABABBAABB.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410PP.5．n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。解法一：试验可模拟为m个红球，nm个白球，编上号，从中任取k个构成一组，则总数为knC，而全为白球的取法有kmnC种，故所求概率为knkmnCC1。解法二：令iA—第i人中奖，,.,2,1kiB—无一人中奖，则kAAAB21，注意到kA，，A，A21不独立也不互斥：由乘法公式)()()()()(11213121kkAAAPAAAPAAPAPBP(1)(2)(1)121nmnmnmnmknnnnk!,1kknmnmkknnCCkCC同除故所求概率为.6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？解：122585410()CCCPAC7．在1,1上任取一点X，求该点到原点的距离不超过15的概率.概率论与数理统计习题解答3解：此为几何概率问题：]11[，,所求事件占有区间]5151[，，从而所求概率为121525P.8．在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解：设一段长为x，另一段长为y，样本空间:0,0,0xayaxya，所求事件满足：0202()axayxyaxy从而所求概率＝14CDEOABSS.9．从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于14的概率。解：设所取两数为,,XY样本空间占有区域,两数之积小于14:14XY,故所求概率()()1()()1SSDSDPS,而11411()(1)1(1ln4)44SDdxx,故所求概率为1(1ln4)4。10．设A、B为两个事件，()0.9PA，()0.36PAB，求()PAB。解：()()()0.90.360.54PABPAPAB;11．设A、B为两个事件，()0.7PB，()0.3PAB，求()PAB.解：()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6PABPABPABPBPAB.12．假设()0.4PA，()0.7PAB，若A、B互不相容，求()PB；若A、概率论与数理统计习题解答4B相互独立，求()PB。解：若A、B互不相容，()()()0.70.40.3PBPABPA；若A、B相互独立，则由()()()()()PABPAPBPAPB可得()PB=0.5.13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设A{命中仓库}，则A{没有命中仓库}，又设iA{命中第i仓库})3,2,1(i则03.0)(,02.0)(,01.0)(321APAPAP，根据题意321AAAA（其中321,AAA两两互不相容）故123()()()()PAPAPAPA=0.01+0.02+0.03=0.06所以94.006.01)(1)(APAP即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9414．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比解：设A{用户订有日报}，B={用户订有晚报}，则BA{用户至少订有日报和晚报一种}，AB{用户既订日报又订晚报}，已知85.0)(,65.0)(,5.0)(BAPBPAP，所以3.085.065.05.0)()()()(BAPBPAPABP即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。解：设A{第一次取得次品}，B{第二次取得正品}，则AB{第二次才取得正品}，又因为9990)(,10010)(ABPAP，则0909.0999010010)()()(ABPAPABP16.设随机变量A、B、C两两独立，A与B互不相容.已知0)(2)(CPBP概率论与数理统计习题解答5且5()8PBC，求()PAB.解：依题意0)(ABP且)()()(BPAPABP，因此有0)(AP.又因25()()()()()3()2[()]8PBCPBPCPBPCPCPC，解方程085)(3)]([22CPCP151()[()]()442PCPCPB舍去，，()()()()()0.5.PABPAPBPABPB17．设A是小概率事件，即()PA是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A迟早总会发生（以概率1发生）.解：设事件iA—第i次试验中A出现(1,2,,)in，∵(),()1iiPAPA，(1,2,,)in，∴n次试验中，至少出现A一次的概率为1212()1()nnPAAAPAAA121()nPAAA121()()()nPAPAPA（独立性）1(1)n∴12lim()1nnPAAA，证毕.18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是15，13，14，求此密码被译出的概率。解:设A，B，C分别表示{第一、二、三人译出密码}，D表示{密码被译出}，则()()1PDPABCPABC1()1()()()PABCPAPBPC42331..5345.19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i的可靠度为ip，各元件正常工作或失效相互独立概率论与数理统计习题解答6解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为123ppp，从而所求概率为31231(1)ppp；（2）同理得2312[1(1)]pp.20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.解：设1A—第一第三台机器发生故障，2A—第一第三台机器发生故障，3A—第一第三台机器发生故障，D—三台机器中至少有一台发生故障，则123()0.1,()0.2,()0.3PAPAPA，故()()1PDPABCPABC1()1()()()10.90.80.70.496PABCPAPBPC21．设A、B为两事件，()0.7PA,()0.6PB,()0.4BPA，求()PAB.解：由()0.4BPA得()0.4,()0.12,()()()0.48()PABPABPABPBPABPA，()()()()0.82PABPAPBPAB.22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A—某种动物由出生算起活到20年以上，()0.8PA，B—某种动物由出生算起活到25年以上，()0.4PB，则所求的概率为概率论与数理统计习题解答7()()0.4()()0.5()()0.8PABPBBBPPAAPAPA23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率。解：设A—某地区后30年内发生特大洪灾，()0.8PA，B—某地区后40年内发生特大洪灾，()0.85PB，则所求的概率为()()0.15()1()1110.250.2()()PBAPBBBPPAAPAPA.24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A：取到白球，B：从甲球袋取白球24431)()(/)()(/)()5/96666PAPABPBPABPB(/)()2/92)(/)()/()2/5()5/9PABPBPBAPABPAPA25、一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设iB表示第i次抽出次品,(1,2)i,由全概率公式2221111()()()()()BBPBPBPPBPBB=211021121112116.26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h以上的概率.解：设iB{取到元件为i等品}(i=1,2,3)，A{取到元件能工作500小时以上}则%1)(%,4)(%,95)(321BPBPBP%70)(%,80)(%,90)(321BAPBAPBAP所