分式函数求值域

分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、形如dcxbaxxf)((0,boa)（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求2312)(xxxf（)32x的值域。解：23134)32(3)32(2)(xxxxf=233132x32233132,02331xx其值域为32/yy一般性结论，dcxbaxxf)((0,boa)如果定义域为/xcdx,则值域cayy/例2：求2312)(xxxf，2,1x的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。105510解：2312)(xxxf=233132x，是由xy31向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为85,53小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。二、形如求xaxxf)(（)0a的值域。分析：此类函数中，当0a，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a时，对函数求导，,1)(2'xaxf0)('xf时，),(ax,a），0)('xf时，),0()0,(aax，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常说的双勾函数，通过图像求出其值域。当然在某些时候可以采用基本不等式来解决其图像例3：求)4,1((,42)(xxxxf上的值域。解：将函数整理成)2(2)(xxxf，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在)2,0(单调递减，在),2(上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为6,24三、用双钩函数解决形如cbxaxnmxxf2)(（0,0am），nmxcbxaxxf2)(（0,0am）在定义内求值域的问题。例3：（2010重庆文数）已知0t，则则函数241ttyt的最小值为_______.解：41142ttttty，ot由基本不等式地2y-aa例4:求)1(21)(2xxxxxf的值域。解：令,1,1txtx则则2)1()1()(2tttxf=341432ttttt，其中t.0则由基本不等式得71)(xf例5:求)21(12224)(2xxxxxf的值域。解：令,12xt则21tx，tttxf2)21(2214)(2=ttt22=12tt，其中0t，由基本式得122)(xf小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成)0()(axaxxf这类型的函数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题三、形如)0,0()(22macbxmxcbxaxxf在定义域内求值域。例5：求11222xxxxy的值域。分析：当定义域为R时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为R时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。解：012xx恒恒成立，所以此函数的定义域为Rx，将函数整理成关于x的方程，1222xxyyxyx，,0)1()1()2(2yxyxy当,02y关于x的方程恒有解，则)1)(2(4)1(2yyy,0即371y，显然，2y也成立，所以其值域为371/yy以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。