求函数值域典型例题

求函数值域典型例题一、函数点调性法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1.求函数1yx的值域。解：∵0x∴显然函数的值域是：),0()0,(例2.求函数x3y的值域。解：∵0x3x3,0x故函数的值域是：]3,[练习1：求函数y=3+23x的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出23x的值域。解：由算术平方根的性质，知23x≥0，故3+23x≥3。∴函数的值域为[3,＋∞)点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。练习2：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）练习3：①y=3x+2(-1x1)②xxf42)(③1xxy④xxy1奎屯王新敞新疆解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4x∴),2[)(xf奎屯王新敞新疆即函数xxf42)(的值域是{y|y2}奎屯王新敞新疆③1111111xxxxxy∵011x∴1y即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）奎屯王新敞新疆④当x0，∴xxy1=2)1(2xx2，当x0时，)1(xxy=－2)1(2xx2奎屯王新敞新疆∴值域是]2,([2，+).（此法也称为配方法）函数xxy1的图像为：例3求函数y=25xlog31x（2x10）的值域解：令y1=25x，2y=log31x，则y1，2y在[2，10]上都是增函数。所以y=y1+2y在[2，10]上是增函数。当x=2时，ymin=32+log312=81，当x=10时，maxy=52+log39=33。4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x故所求函数的值域为：[81，33]。例4求函数y=1x-1x的值域。解：原函数可化为：y=112xx当x=1时，y=1y+2y有最小值2，原函数有最大值22=2。显然y0，故原函数的值域为(0,2]。例5求函数12yxx的值域。y1,2练习：求函数y=3+4x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)求函数y=x-3+√2x+1的值域。二、反比例函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6.求函数3x4y5x6值域。解：由原函数式可得：2-xx2则其反函数为：46xy5x3，其定义域为：3x5故所求函数的值域为：3y5当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例7求函数x+1yx+2的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数x+1yx+2的反函数为:12yxy-1,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习2：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y－1或y1｝）三、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例8.求函数1e1eyxx的值域。解：由原函数式可得：1y1yex∵0ex∴01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1,1(例9.求函数3xsinxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：2y1sinx+y（）=3β即2ysinx+y13（）=β∵Rx∴]1,1[)x(xsin即11yy312解得：42y42故函数的值域为42,42形如02x可解出y的范围,从而求出其值域或最值。例10．求函数1212xxy的值域[解析]：由1212xxy得112yyx四、配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2cxbfxfay的函数的值域问题，均可使用配方法。例8.求下列函数的最大值、最小值与值域：①142xxy；②]4,3[,142xxxy；③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；解：∵3)2(1422xxxy，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，miny=-2，maxy=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，miny=-2，maxy=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，miny=-3，maxy=6；值域为[-3，6].321-1-2-3654321-1-2xOy注：对于二次函数)0()(2acbxaxxf,⑴若定义域为R时，①当a0时，则当abx2时，其最小值abacy4)4(2min；②当a0时，则当abx2时，其最大值abacy4)4(2max.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x[a,b],则)(0xf是函数的最小值（a0）时或最大值（a0）时，再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大（小）值.②若0x[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大（小）值.练习1．求函数562xxy的值域由562xxy44)3(2x]4,(y练习2.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2∵]2,1[x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：[4，8]注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例5：求函数y=2-xx2的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由2-xx2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时2-xx2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤2-xx2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x－5＋154x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})11011,022yyyy或五、换元法利用整体代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如)0,,,(adcbadcxbaxy均为常数且。例3．求函数xxy12的值域解：设tx1，则)0(122ttty4,值域为例11.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx2∵43)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1[例2求函数y=x-3+2x1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设t=2x1（t≥0）,则x=1/2(2t-1)。于是y=1/2(2t-1)-3+t=1/22t+1（）-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝例12.求函数2)1x(12xy的值域。解：因0)1x(12即1)1x(2故可令],0[,cos1x∴1cossincos11cosy21)4sin(2∵4540,0211)4sin(201)4sin(22故所求函数的值域为]21,0[例13.求函数1x2xxxy243的值域。解：原函数可变形为：222x1x1x1x221y可令tgx，则有2222cosx1x1,2sinx1x24sin412cos2sin21y当82k时，41ymax当82k时，41ymin而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41例14.求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。解：)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y由)4/xsin(2xcosxsint且2,12x可得：2t22∴当2t时，223ymax，当22t时，2243y故所求函数的值域为223,2243。例15.求函数2x54xy的值域。解：由0x52，可得5|x|故可令],0[,cos5x4)4sin(10sin54cos5y∵04544当4/时，104ymax时，54ymin故所求函数的值域为：]104,54[通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。六、判别式法把函数转化成关于x的二次方程0),(yxF，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如22221121cxbxacxbxay判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论奎屯王新敞新疆例4．求函数1122xxy的值域原函数可化为010)1(2yxxy1）1y时不成立2）1y时，110)1)(1(400yyy11y综合1）、2）值域}11|{yy例4.求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程0x)1y(x)1y(2（1）当y=1时，0x，（2）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21当y=1时，0x，而23,211故函数的值域为23,21例5.求函数)x2(xxy的值域。解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）∵Rx∴0y8)1y(42解得：21y21但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。可以采取