高级宏观经济学-第五讲-无限期期动态模型

《中级宏观经济学》2020/10/7第五讲无限期动态模型2第五讲无限期动态模型2020/10/7第五讲无限期动态模型3第一节基本决策环境2020/10/7第五讲无限期动态模型4基本环境经济是一个封闭经济，由一个生活无限期的代表性消费者和一个代表性的企业所组成。经济活动进行无限期，时间是离散的，我们用时间指数,2,1,0t来代表时期，这个时期可以是一天、一星期、一个月或者一年等等。代表性消费者通过寻求最优的消费序列和资本序列来实现自己的效用最大化。2020/10/7第五讲无限期动态模型5偏好代表性消费者的偏好如下：)(0tttcu（5.1）其中，10是贴现因子，tc是消费。期效用函数)(u是一个连续可微，严格递增，严格凹的函数。它满足稻田条件，即)(lim0cuc，0)(limcuc。2020/10/7第五讲无限期动态模型6技术生产技术由下式给出：),(tttnkFy（5.2）其中，ty是产出，tk是资本投入，tn是劳动投入。生产函数是一个对两个变量均连续可微，严格递增的、一次齐次、严格准凹的函数，并满足稻田条件，即)1,(lim10kFk，0)1,(lim1kFk。资本根据如下规则得以积累：tttikk)1(1（5.3）其中，ti是投资，10是折旧率。2020/10/7第五讲无限期动态模型7禀赋在每一期，消费者拥有一单位的时间禀赋，它可以用作劳动提供到劳动市场上去。同时，消费者也拥有0k单位的初始资本，这些资本即可以用于生产也可以用于消费，即消费品与资本品是可以一对一进行转换的。2020/10/7第五讲无限期动态模型8资源约束经济的资源约束条件就为：tttyic（5.4）和1tn（5.5）2020/10/7第五讲无限期动态模型9在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们应该分析行为人的最优化行为，然后进行均衡分析，最终得到每期均衡的数量解和价格解或者分析计划最优的情形，求出每期的均衡数量解。但是，现在，我们面临的是一个无限期模型，用处理两期模型的方法来求解均衡解几近不可能，所以，在这里，我们首先插入一部分，介绍一下动态规划的基本知识，然后，直接利用动态规划的知识去处理无限期的问题。2020/10/7第五讲无限期动态模型10第二节动态规划简介2020/10/7第五讲无限期动态模型11因为我们在前面已经证明了竞争均衡解也是帕雷托最优解。因此，我们可以通过求解社会计划者问题来获得竞争均衡的有关数量解，这样，上面这个无限期模型中的社会计划者最优化问题可以正规地描述如下：2020/10/7第五讲无限期动态模型12)(max0,,,01tttkinccuttttt（5.6）..ts),(ttttnkFic(5.4)tttikk)1(1(5.3)1tn(5.5)0)1(limtttk(5.7)给定,0,0,00kkctt(5.8)2020/10/7第五讲无限期动态模型13其中，0k外生给定。（5.4）式与(5.5)式就是资源约束条件，因为)(cu是c的严格增函数，因而，（5.4）式将取等号。而因为劳动并不会带来负效用，假如（5.5）式没有取等号，则意味着tn还可以增加，而tn的增加会增加tc从而增加效用，因此，在最优时（5.5）式一定会取等号。（5.3）式是资本积累方程。2020/10/7第五讲无限期动态模型14方程（5.7）又称为横截性条件（transversalitycondition）。横截性条件的基本含义是当经历的时期足够长以后，未来的资本tk贴现到t=0时期，其现值必须等于零。横截性条件的主要目的是帮助确定具体的解。因为我们在下面将会看到，在无限期模型中，欧拉方程是一个二阶差分方程，所以，仅有初始资本0k，并不能得到确定的解，只有加上横截性条件，我们才能得到确定的解。（5.8）式是我们对消费和资本强加的非负约束。2020/10/7第五讲无限期动态模型15现在，用（5.3）式替代掉（5.4）式中的ti，并定义kkFkf)1()1,()(，这样，函数)(kf就代表了所有可以用来消费和投资的总产品数量（提醒一下，资本存量也是可以用于消费的，即消费品与资本品是可以一对一进行转换的）。因为在任何一期，都有1tn，因此，现在，社会计划问题能更简洁地表述为：2020/10/7第五讲无限期动态模型16tttkccuttt0,01max（5.9）..ts1)(tttkkfc（5.10）现在，计划者面临的惟一决策是：究竟是应该让行为人今天多消费一些呢还是今天少消费一些，留下这些东西作为明天的资本，从而使明天能消费更多的东西。2020/10/7第五讲无限期动态模型17我们定义01ttk为计划者实现了最优时的资本存量序列。现在我们面临的问题是如何去求得这个序列。答案是：动态规划。上面的这个最优化问题实际上是一个无限维度的最优化问题，也即为了求解上面这个问题，我们不得不寻找到一个最优的无限序列的资本存量（,,21kk）。动态规划的基本思想是试图通过对决策环境的探讨而发现一种更简单的求解这一最大化问题的方法，但是这个最大化问题的解又是与我们原始的最大化问题的解是相同的。2020/10/7第五讲无限期动态模型18为了实现这一目标，现在，让我们首先来仔细观察社会计划者面临的这个最优化问题，实际上，这个最优化问题具有一个非常特殊的结构——递归结构（recursivestructure）。这一点非常重要，它是我们能运用动态规划方法来求解这个最优化问题的关键所在。2020/10/7第五讲无限期动态模型19贝尔曼方程（Bellman’sequation）现在假设我们已经求解了上述这个最优化问题，根据我们前面介绍的三期模型的经验可知，此时，目标函数——)(0tttcu——的最大值只依赖于初始资本0k。因此，我们能定义：)()(00tttcukV（5.11）上式无非表明：如果初始资本是0k，那么，行为人最大的一生效用的贴现值将是)(0kV。2020/10/7第五讲无限期动态模型20为了说明递归形式在我们这个最优化问题中的重要性，现在，我们把目标函数展开：)()()()()(11100TTTTtttcucucucucu（5.12）进一步，有：)()()()()()(112100TTTTtttcucucucucucu（5.13）2020/10/7第五讲无限期动态模型21我们可以注意到，上面大括号里的部分与原始的目标函数有完全相同的表达形式，只不过，它是从第一期开始的而不是从第零期开始的。这样，我们有：)()()()()(11211TTTTcucucucukV（5.14）以此类推，有：)()()()()()()()(12322TtTtttTTcucucukVcucucukV2020/10/7第五讲无限期动态模型22相应地，我们也有：)()()()()()()()()(1211100tttkVcukVkVcukVkVcukV（5.15）2020/10/7第五讲无限期动态模型23现在可以看到，如果我们能求解出)(tkV的表达式，那么，我们就能得到原始的计划者最优化问题中行为人最大的一生效用的贴现值，因而也就求解了原始的那个计划者的最大化问题。因此，通过对决策环境的探讨，现在我们已经把原始的最优化问题转换为一个关于求解最优的)(tkV解的问题，这一问题，借助数学语言可以表述如下：tttttkctckfktskVcukVtt)(..)()(max)(11,1（5.16）2020/10/7第五讲无限期动态模型24上面这个方程就是我们通常所说的贝尔曼方程。对于这个贝尔曼方程，以下几点是需要我们特别注意的：第一，一旦行为人决定了初始期的消费数量0c，加上外生给定的初始资本数量0k，借助预算约束条件——tttckfk)(1，我们很容易就可以知道下一期，也即第一期的资本数量1k。2020/10/7第五讲无限期动态模型25一旦行为人决定了第一期的消费数量1c，加上已经知道的资本数量1k，借助预算约束条件，就能得到第二期的资本数量2k。以此类推，一旦行为人决定了时期t的消费数量tc，加上已经知道的tk（因为这是在上一期，即t-1期就被决定了的），借助预算约束条件，我们就能知道下一期（t+1期）的资本数量1tk。因此，在贝尔曼方程里，预算约束条件又被成为转换方程（transitionequation）或者说运动方程（equationofmotion）。2020/10/7第五讲无限期动态模型26第二，行为人带进当前期的资本存量tk，是过去决策的一个直接后果，实际上凝结了所有过去决策的信息，它完全地决定了从今往后可用于支配的资源数量。因此，它经常被称为“状态变量（statevariable）”：它完全地把当前的经济状态刻画出来了（也就是说，行为人可以在此基础上进行未来的选择）。变量tc和1tk是行为人在当前所需要决定（或者说控制）变量，因此，它经常被称为“控制变量（controlvariable）”，因为，这个变量是行为人在当前能控制的变量。2020/10/7第五讲无限期动态模型27第三，从预算约束条件或者说转换方程中可以看出，1tk实际上是tk的函数，在贝尔曼方程中，这种刻画1tk与tk之间关系的函数有一个更正规的名字——政策函数（Policyfunction）。目标函数中的)(tkV是一个间接效用函数，在贝尔曼方程里，它也有一个更正规的名字——值函数（Valuefunction）。2020/10/7第五讲无限期动态模型28第四，贝尔曼方程虽然在形式上与我们碰到的其他方程没有什么区别，但在含义上，这个方程与之前我们遇到的其他方程的含义是完全不一样的。在这里，值函数)(tkv是一个函数的函数，因为tk本身也是一个函数，即政策函数。我们通常把这种函数的函数称为泛函，因而值函数)(tkv是一个泛函。而作为函数方程的贝尔曼方程，它的解本身是一个函数，而不是一个数字或者一个向量。2020/10/7第五讲无限期动态模型29贝尔曼方程告诉我们，代表性行为人从t期开始的效用贴现值总和等于行为人在t期接受的效用，tcu，加上行为人从t+1期开始的效用贴现值总和，)(1tkv。因此，行为人实际上是在作这样一个权衡：是在t期（今天）就消费，还是为下一期，即t+1期（明天）积累更多的资本。2020/10/7第五讲无限期动态模型30现在我们可以看到，对于这样一个给定tk的最优化问题要比原先试图寻找无限序列的最优资本存量01ttk的最优化问题更容易求解。麻烦的问题是我们不得不为每一种可能的资本存量tk做最大化分析。尽管这样，我们还是能发现，贝尔曼方程要比像（5.8）式那样的最优化问题更容易求解（个别非常特殊的情况除外）。2020/10/7第五讲无限期动态模型31要求解贝尔曼方程，我们实际上是试图从（5.16）式中求解出一个值函数)(tkv和一个最优的政策函数)(1ttkgk，这个政策函数是tk的函数，它描述的是对于每一个可能出现的tk，为了保证（5.16）式最大化，我们应该有怎样的一个最优的1tk。一般地说，求解贝尔曼方程的解有三种方法，即：猜测法；值函数迭代法；政策函数迭代法。在这里，我们在给出具体的效用函数和生产函数的情况下，简单介绍一下如何利用猜解的方法来求解贝尔曼方程。2020/10/7第五讲无限期动态模型32应用猜测法求解贝尔曼方程假设期效用函数为)ln()(ccu，生产函数为1),(nknkF，并假定完全折旧，即1。这样，贝尔曼方程现在成为：tttttkctckktskVckVtt11,..)()ln(max)(1（5