差分方程及matlab求解综述

1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？2、早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式D=3、在法国著名的Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在1950年做过检测，测得碳14的衰减系数为每克每分钟0.97个，已知碳14的半衰期为5568年，试求这些壁画的年龄（精确到百年）。4、牛顿发现在温差不太大的情况下，物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为36.5，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为32度，一小时后再次测量，测的体温约为30.5度，试推测该受害者的受害时间。差分方程初步第一节差分方程的基本概念一、差分的概念定义1设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．依此定义类推,有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),………………一阶差分的性质(1)若yt=C(C为常数),则Dyt=0;(2)对于任意常数k,D(kyt)=kDyt;(3)D(yt+zt)=Dyt+Dzt．定义2函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即D2yt=D(Dyt)=Dyt+1-Dyt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推,有D2yt+1=Dyt+2-Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D2yt+2=Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,………………类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分D3yt=D2yt+1-D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,D3yt+1=D2yt+2-D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里),3,2,1()1()(01111=-=D-D=DD=D=-+-+--kyCyyyykiiktikitktktktk)!(!!ikikCik-=二、差分方程定义3含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt,D2yt,…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶.n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,Dyt,…,Dnyt)=0,其中F是t,yt,Dyt,…,Dnyt的已知函数,且Dnyt一定要在方程中出现．定义3′含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶．n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,其中F为t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现.三、差分方程的解定义4如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解yt=j(t,C1,C2,…,Cn)称为n阶差分方程的通解.在通解中给任意常数C1,C2,…,Cn以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.例如,函数yt=at+C(a为已知常数,C为任意常数)是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,…均是这个差分方程的特解.由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定特解的定解条件.n阶差分方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0常见的定解条件为初始条件.y0=a0,y1=a1，…,yn-1=an-1，这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者有相同的解.例如,方程ayt+1-byt=0与方程ayt+2-byt+1=0都是相互等价的．四、线性差分方程及其基本定理形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的差分方程,称为n阶非齐次线性差分方程.其中a1(t),a2(t),…,an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函数,且an(t)≠0,f(t)≠0.而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0的差分方程,称为n阶齐次线性差分方程.其中ai(t)(i=1,2,…，n)为t的已知函数,且an(t)≠0.如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)，yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0．分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程.定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理)若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2),则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程的解,其中A1，A2，…，Am为任意常数．定理2n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．定理3(齐次线性差分方程通解结构定理)如果y1(t),y2(t),…,yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解,则方程的通解为：yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)如果(t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的一个特解,yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为：y(t)=yA(t)+(t)即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+(t)，这里A1，A2,…,An为n个任意(独立)常数．yyy第二节一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为yt+1+ayt=f(t)和yt+1+ayt=0,其中f(t)为t的已知函数,a≠0为常数.分别称为一阶常系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.一、齐次差分方程的通解将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt,t=0,1,2,…．假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取任意值A,那么由上式逐次迭代,算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………方程的通解为yt=A(-a)t,t=0,1,2,…．如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为：yt=y0(-a)t．二、非齐次方程的通解与特解1.迭代法求通解将方程改写为yt+1=(-a)yt+f(t),t=0,1,2,…．逐步迭代,则有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………由数学归纳法,可得yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=(-a)ty0+,(t=0,1,2,…)，ty.)1()()1()1()()0()(1021为方程的特解其中-=-----=-+-+-=tiitttitfatffafayyA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解.解例.2211的通解求差分方程tttyy=-+ttfa2)(,21==)12()21(31411)41(12)41(22)21(22)21(211101101101-=--====---=--=---=--tttttiittiiittiitity121231)21()12()21(31)21(+-+=-+=ttttttAAy方程的通解.32为任意常数-=AA2.待定系数法求特解情形Ⅰf(t)为常数．方程变为yt+1+ayt=b,a,b均为非零常数．试以(为待定常数)形式的特解代入方程得+a=(1+a)=b．=ty当a≠-1时,可求得特解abyt+=1当a=-1时,改设特解(为待定系数),将其代入方程得(t+1)+at=(1+a)t+=btyt=求得特解btyt=方程的通解为.1,1,1)()(为任意常数其中AabtAaabaAytyyttAt-=+-++-=+=解例.521的通解求差分方程=-+ttyy5,12-=-=ba.,52为任意常数AAytt-=情形Ⅱf(t)为t的多项式．不妨设f(t)=b0+b1t(t的一次多项式),即yt+1+ayt=b0+b1t,t=1,2,…，其中a,b0,b1均为常数,且a≠0,b1≠0．试以特解=a+bt,(a,b为待定系数)代入方程得a+b(t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，ty上式对一切t值均成立,其充分必要条件是：=+=++10)1()1(bababba当1+a≠0时,即a≠-1时，ababab+=+-+=1)1(11210ba方程的特解为tabababy+++-+=1)1(11210当a=-1时,改设特解=(a+bt)t=at+bt2ty将其代入方程可求得特解211021)21(tbtbby+-=方程的通解为-=+-++++-++-=.1,21)21(,1,1)1(1)(21101210atbtbbAatabababaAytt解例.231的通解求差分方程tyytt+=-+2,3,110==-=bba.,22为任意常数AttAyt++=情形Ⅲf(t)为指数函数不妨设f(t)=b·dt,b,d均为非零常数,方程变为yt+1+ayt=b·dt,t=0,1,2,…．求得特解ttddaby+=当a+d≠0时,设方程有特解=dt,为待定系数.将其代入方程得dt+1+adt=b·dt,ty当a+d=0时,改设方程的特解=tdt,为待定系数,将其代入方程可求得特解=btdttytyty当a+d=0时,改设方程的特解=tdt,为待定系数,将其代入方程可求得特解=btdtty求得特解ttddaby+=当a+d=0时,改设方程的特解=tdt,为待定系数,将其代入方程可求得特解=btdtty方程的通解为=++-+++-=+=.0,)(,0,)(dabtdaAdaddabaAyyytttttAt解例.21的通解求差分方程tttyy=-+01,2,1,1=+==-=dadba.,2为任意常数AAytt+=情形Ⅳf(t)为正弦、余弦型三角函数设f(t)=b1cost+b2sint,其中b1,b2,均为常数,且≠0,b1与b2不同时为零.于是非齐次方程变为yt+1+ayt=b1cost+b2sint,a≠0,t=0,1,2,…．设方程有特解=acost+bsint,a,b