搜索
●课程标准一、函数概念①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质．二、基本初等函数(Ⅰ)1．指数函数①通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景．②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．2．对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发展历史以及对简化运算的作用．②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．③知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a0，a≠1)．3．幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．三、函数的应用1．函数与方程①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．2．函数模型及其应用①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用．●命题趋势1．高考命题对函数的考查是全方位、多层次的，既有中低档的选择、填空题，也有变换角度，在知识交汇处综合的大题，近两年注重了对函数与导数知识的结合．考查的重点依旧是函数的概念、性质及其应用；考查的热点是函数模型的应用、函数的图象与性质、函数与其它章节知识(如数列、方程、不等式、解析几何等知识)的交汇．在考查函数知识的同时，又考查运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力．(1)函数的概念与函数的定义域、值域单独命题时，一般在根式、分式、对数等知识点求函数的定义域及简单的函数求值和复合函数值域问题．(2)函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性．要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性．新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性．(3)函数的图象主要考查：①几类基本初等函数的图象特征；②函数的图象变换(平移变换、对称变换、伸缩变换)．考查的形式主要有：知式选图、知图选式、图象变换，以及运用图象解题等．把识图、用图作为考查的重点，考查学生用数形结合方法解决问题的能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式．2．指数函数、对数函数是新课标考查的重要方面．指数函数主要题型有：指数函数的图象与性质、幂值的大小比较、由指数函数复合而成的综合问题．对数是常考常变的内容，主要题型是对数函数的图象性质、对数运算法则、对数函数定义域．幂函数新课标要求较低，只要掌握幂函数的概念、图象与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数．反函数新课标比原大纲要求有较大幅度降低，只要知道指数函数与对数函数互为反函数及定义域、图象的关系即可，不宜过分延伸．因此命题会主要集中在指数、对数的运算性质，指、对函数的图象与性质及数值大小比较等问题上，结合数形结合、分类讨论、函数与方程的思想予以考查，与方程、不等式、分段函数、数列、导数、三角函数等相联系，仍将是命题的重点．3．函数与方程、函数的应用主要考查：(1)零点与方程实数解的关系．(2)函数的概念、性质、图象的综合问题．(3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题．(4)函数与解析几何知识的综合问题．(5)二次函数、三次函数、导数、零点的结合．●备考指南1．深刻理解函数的概念，准确把握常见基本初等函数的图象与性质，以及以这些基本函数为材料构建的含绝对值的函数、分段函数等，并能灵活运用这些知识去分析、解决有关问题．2．注重基础知识的落实，主干知识的强化，交汇知识的梳理，常用数学思想、方法、技能、解题规律的总结．重点训练：①求函数的定义域，特别是幂、指、对、一次、二次、三角的复合问题；②求函数的值(或值域)，特别是幂、指、对、一次、二次与分段函数、函数的奇偶、周期结合的题目；③指数函数、对数函数的图象、性质与分类讨论、数形结合、字母运算结合的题目；④函数的单调性、极值与导数结合的题目；⑤函数、导数、数列的小综合，函数、导数、不等式的小综合．3．针对函数实际应用题、探索性问题、代数推理问题以及与其它知识交汇的综合题，应加大训练力度，通过实战训练，达到培养数学能力的目的．给出一个背景问题(或图象)，求出解析式，然后依据解析式讨论有关性质的问题应重点训练．4．基本初等函数(Ⅰ)的复习，重点掌握指数幂的运算法则，对数的定义、性质与运算法则及对数恒等式、换底公式，指数函数的图象与性质，加强指对函数单调性与比较大小，奇偶性与图象对称特征，图象过定点，单调性应用，对数函数定义域，互为反函数的两个函数图象、定义域、值域的关系及与二次函数、分式、指数复合的训练，加强客观题训练，难度不宜过大，适度进行综合训练．加强数形结合思想的训练．5．函数应用的复习，应深刻理解方程的根与函数零点的关系，掌握二分法求方程近似解的方法，进一步培养数形结合及运用函数、方程的知识解决实际问题的能力．加强对实际问题的理解，掌握建立数学模型的基本方法．注意归纳掌握常见实际问题的数学模型．第一节函数及其表示重点难点重点：①函数的概念、定义域、值域及求法．②分段函数．难点：复合函数及分段函数．知识归纳1．映射(1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的____一个元素，在集合B中都有_________的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.任何惟一确定(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．2．函数(1)定义：设集合A是一个非空数集，对A中任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域，当x＝a时，由对应法则f确定的值y叫做函数在a处的函数值，记作y＝f(a)，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．从映射的角度看，函数是由一个_________到另一个________的映射．(2)函数的表示法有：_______________________理解函数概念还必须注意以下几点：①函数是一种特殊的映射．②若两个函数的定义域、对应法则分别相同，这两个函数就相同．非空数集非空数集解析法、列表法、图象法．③函数的定义域是自变量x的取值范围．同一个对应法则，若定义域不相同，则函数的图象与性质一般也不相同．④函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线．⑤对于以x为自变量的函数，f(a)的含义与f(x)的含义不同．f(a)表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量．3．函数的定义域及其求法(1)根据函数解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为__；②偶次方根的被开方数不得小于__；③对数函数的真数必须大于__；④指数函数和对数函数的底数必须________________；⑤三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为xx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z.000大于0且不等于1(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足____________的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，求f(x)的定义域，是指在x∈______的条件下，求g(x)的值域．(3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．a≤g(x)≤b[a，b](4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．(5)求定义域的一般步骤：①写出函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数的定义域．4．函数的值域(1)确定函数值域的原则①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合．②当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合．③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定．④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定．(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为4ac－b24a，＋∞；当a0时，值域为－∞，4ac－b24a.③y＝kx(k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．④y＝ax(a0，且a≠1，x∈R)的值域是(0，＋∞)．⑤y＝logax(a0，且a≠1，x0)的值域是R.⑥y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为[－1,1]，[－1，1]，R.误区警示1．映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射．映射是特殊的对应，只能是一对一或多对一，不能一对多．2．判断两个函数是否为相等函数，关键看定义域和对应法则是否都相同．3．复合函数求定义域时，因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域与已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域混淆．4．解题过程中不要忽视定义域的限制作用致误5．不要忽视实际问题的实际意义的限制作用．6．换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围．7．判别式法求值域对端点要进行检验．8．利用均值不等式求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号．9．熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些方法分别适用于哪些类型的函数．如求函数y＝x＋1－x与y＝x＋1－x2的值域，虽然形式上接近但采用的方法却不同．10．分段函数求值或解不等式时，一定要先区分自变量在哪一段区间上取值．一、定义法用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．二、求函数值域的常用方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：①直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；②配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．③反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．④判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，