第三章--平面与空间直线

第一节平面及其方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程1、方位向量在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。向量a,b称为平面的方位向量。显然，任何一对与平面平行的不共线向量都可作为平面的方位向量。2、平面的向量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）称为平面的向量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为向量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并设a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}则由（1）可得)2(210210210vZuZzzvYuYyyvXuXxx（2）式称为平面的坐标式参数方程。r=r0+ua+vb（1）例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},因此，平面的向量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程为)4()()()()()()(131211312113121zzvzzuzzyyvyyuyyxxvxxuxx设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方位向量为r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）与)6(0131211312113121zzzzzzyyyyyyxxxxxx或)7(01111333222111zyxzyxzyxzyx（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。特别地，若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为)8(1czbyax称为平面的截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距。xzyM1M2M3oxyzo0MM如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．n二、平面的点法式方程1.法向量:注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOnM0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)例1:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3132643kji=14i+9jk例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为向量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一个法向量为n={1,1,-2}.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n={A,B,C}证:A,B,C不能全为0,不妨设A0,则方程可以化为0)0()0()(zCyBADxA它表示过定点)0,0,(0ADM注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面的一般方程.且法向量为n={A,B,C}的平面.例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=02.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}与x轴上的单位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是平行于xOz面的平面方程是平行于yOz面的平面方程是.Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程为By3Bz=0即:y3z=0例4:设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:cDCbDBaDAoyPxzQR所求平面的方程为:0DzcDybDxaD即:1czbyax(3)例5求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.设平面为,1czbyaxxyzo,1V,12131abc由所求平面与已知平面平行得,611161cba（向量平行的充要条件）解,61161cba化简得令tcba61161,61ta,1tb,61tcttt61161611代入体积式,61t,1,6,1cba.666zyx所求平面方程为若平面上的一点特殊地取自原点O向平面所引垂线的垂足，而的法向量取单位向量，设，那么由点和法向量决定的平面的向量式法式方程为：0M0nOPp000nrpn0M0ncoscoscos0xyzp平面的坐标式方程，简称法式方程为平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：①一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；②因为p是原点O到平面的距离，所以常数0p平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0与法式方程的互化取乘平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0可得法式方程在取定符号后叫做法式化因子22211nABC2222222222220AxByCzDABCABCABCABC选取的符号通常与常数项相反的符号D例把平分面的方程化为法式方程，求自原点指向平面的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离326140xyz第二节平面与点的相关位置设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点P0到平面的距离。在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)则P1P0={x0x1,y0y1,z0z1}过P0点作一法向量n={A,B,C}于是:01jPrPPdn||01nnPP222101010)()()(CBAzzCyyBxxA1PNn0P又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:222000CBADCzByAxd(4)例如:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+2z10=0的距离13322110122211222d第三节两平面的相关位置21212121DDCCBBAA1、设两个平面的方程为：1：A1x+B1y+c1z+D1=0(1)2：A2x+B2y+c2z+D2=0(2)定理1：两个平面（1）与（2）相交A1:B1:C1≠A2:B2:C2.平行重合21212121DDCCBBAA（1）定义（通常取锐角）11n22n两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,0:11111DzCyBxA,0:22222DzCyBxA},,,{1111CBAn},,,{2222CBAn2、两平面的夹角（2）、两个平面的交角公式设两个平面1，2间的二面角用(1,2)表示，而两平面的法向量n1,n2的夹角记为θ=(n1,n2），显然有(1,2)=θ或-θ因此cos),(cos21||||2121nnnn1n1n22222222212121212121||CBACBACCBBAA3、两平面垂直的充要条件两平面(1)(2)垂直的充要条件为A1A2+B1B2+C1C2=0例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量n={A,B,C}已知平面x+y+z=0的法向量n1={1,1,1}所以:nM1M2且nn1而M1M2={1,0,2}于是:A(1)+B0+C(2)=0A1+B1+C1=0解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n={2,1,1}所以,所求平面方程是2(x1)+1(y1)+1(z1)=0即:2xyz=0例6研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos601cos两平面相交，夹角.601arccos)2(},1,1,2{1n}2,2,4{2n,212142两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合．)3(,21214221)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面重合.一、填空题：1、平面0CzByAx必通过_______，（其中CBA,,不全为零）；2、平面0DCzBy__________x轴；3、平面0CzBy_______x轴；4、通过点)1,0,3(且与平面012573zyx平行的平面方程为_________；5、通过),0,0()0,,0()0,0,(cba、、三点的平面方_______________；6、平面0522zyx与xoy面的夹角余弦为___________，与yoz面的夹角余弦为____________，与zox面的夹角的余弦