自动控制原理第三章(3).

1第3章时域分析法3－1时域分析基础3－2一、二阶系统分析与计算3－3系统稳定性分析3－4稳态误差分析计算22nn22n22ωsω2sω1Ts2sT1Φ(s),T1ω式中,n022nn2ss特征方程122,1nnS特征方程的两个根（闭环极点）课程回顾（1）§3-2-2二阶系统的数学模型及单位阶跃响应3①ξ＞1时，（过阻尼）S1，S2为一对不等的负实数根。S1S20j0jt②ξ=1时，（临界阻尼）S1，S2为一对相等的负实数根。响应与一阶系统相似，没有超调，但调节速度慢；响应是没有超调，具有没有超调中最快的响应速度；课程回顾（2）1211211211()1,(0)/1/1ttTThteetTTTT)1(1)(tethntn175.4Tst1133.3TTs21s21t1.25),4(/TTt1.25),4(/TT)(~211TTfTts4④当ξ=0时，（无阻尼，零阻尼）S1，S2为一对幅值相等的虚根。响应曲线是等幅振荡；课程回顾（3）③0＜ξ＜1时，（欠阻尼）S1，S2为一对具有负实部的共轭复根。虽然响应有超调，但上升速度较快，调节时间也较短。合理选择的取值，使系统具有满意的响应快速性和平稳性。β)tsin(ω1eh(t)d2tωn1tcosωh(t)n15课程小结（4）工程上有时把阻尼比=0.707称为最佳阻尼比。实际设计中，一般取ξ=0.4~0.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间。小结：ⅰ）二阶系统正常工作的基本条件是ξ＞0；而ξ＜0系统不稳定；ⅱ）当ξ≥1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；※ⅲ）当0＜ξ＜1时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。⑤当ξ＜0时，（负阻尼）S1，S2为一对不等的负实数根。响应是发散的，系统不能正常工作；6欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1.上升时间：令，则rt()1rht211sin(arccos)11ntdet所以：πarccostωrd21ndrω-πωarccos-πt由上式可见，如欲减小tr，当ζ一定时，需增大ωn，反之，若ωn一定时，则需减小ζ。7)3,2,1,0(nnπtωpd第一次出现峰值时间。：为c(t)峰值时间tp0β)tcos(ω1β)tsin(ω得0,dtdh(t)令d2dptttanβ/1β)ttan(ω2d2ndp1ωπωπt2.峰值时间：pt根据极值定理有：β)tcos(ωζ1β)tζsin(ωζ1eωdtdh(t)β)tcos(ωeωβ)tsin(ωe)ζω(ζ11dtdh(t)0tβ),tsin(ωeζ111h(t)d2d2tζωndtζωddtζωn2dtζω2nnnn按定义取n=1得:822/1/1max2()()1sin(arccos)11pehthte3.超调量：%将峰值时间代入下式/pdt21()1sin(arccos)1ntdhtet得:所以:2/1()()%100%100%()phtheh21sinββ)sin(π；σ%,决定,即σ%完全由β)ζ1ωπsin(ωeζ111)h(tζ1ωπωπtβ)tsin(ωeζ111h(t)2ndζ1ωπζω2p2ndpdtζω22nnn94.调节时间st写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。当阻尼比时3.5(snt取5％误差带）4.5(snt取2％误差带）8.0010除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在ξ=0.4～0.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求选定ξ，然后在根据其它要求来确定ωn。实际设计中，一般取ξ=0.4～0.8。其中以ξ=0.707时为最佳阻尼。)8.00(psnprsnttttt%%不变；阻尼比固有频率不变；固有频率阻尼比：11β欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算ωd=ωn√1-ξ2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2S1,2=-ξωn±j√1-ξ2ωnh(t)=1－√1-ξ21e-ξωntsin(ωdt+β)ωn-ξωnj00ξ1时：π-βωd得tr=令h(t)=1取其解中的最小值，令h(t)一阶导数=0，取其解中的最小值，得tp=πωd由σ%=h(∞)h(tp)－h(∞)100%（0﹤ξ≤0.8）eh(t)=1－√1-ξ21-ξωntsin(t+ωdβ)得σ%=e-πξ100%213.5(snt取5％误差带）4.5(snt取2％误差带）12三、二阶系统举例例3-3设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。)5.34(5ssKARC13例题解析(1)•输入：单位阶跃)(1)(ttrssR1)(系统的闭环传递函数：AAKssKs55.345)(214例题解析(2)当KA＝200时10005.341000)(2sss系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n20.121pdnt峰值时间：秒2113%e超调量：％6.311000n1radsstns2.05.3调节时间：AAKssKs55.345)(215例题解析(3)当KA＝1500时75005.3415005)(2sss系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：6.867500n34.50.22n20.03784.851pnt峰值时间：秒2152.7%e超调量：％1radsstns2.05.3调节时间：AAKssKs55.345)(216例题解析(4)当KA＝13.5时5.675.345.67)(2sss系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：21.85.67n34.52.12n?pt峰值时间：0％超调量：无1rads无AAKssKs55.345)(2sTts46.131调节时间：sTn487.0)1(121大时间常数17aKanK5n25.34npt2121%enst5.3150086.60.03752.7%0.220031.60.1213%0.213.58.2101.450.2∞0.542.118系统在单位阶跃作用下的响应曲线c(t)10tKA=1500KA=200KA=13.519开环增益K对系统性能的影响开环传函：开环增益：闭环传函：)1()(ssKsGK22222)(nnnssKssKs特征参数：KKnn2121欠阻尼动态指标：nsnptet5.3%121220变化→特征多项式系数变化→特征根变化→变化→性能变化开环增益变化对性能的改善是有限的，指标对的要求往往是矛盾的只能采取折中方案，兼顾不同的要求。ssneK%“快”与“准”两项指标相矛盾K)(thK)1()(0TssKsG开环增益K)1()(ssKsG22222)(nnnssKssKsKKnn212121.K及内反馈系数τ之值大器的增益试确定前置放秒,1间t峰值时16.3%和调量σ有超具单位阶跃响应c(t)要求该系统的如图所示,已知某控制系统方框图例2p)1(10ssKsC(s)R(s)rad/s3.63nω得2ξ1nωπpt又0.5ξ得16.3%100%2ξ1ξπ/eσ由n及ω计算出二阶系统参数ξp由已知σ和t(1):解220.26332.1102101n2222s2R(s)C(s)(3)10)101(2s10KR(s)C(s),(2)KKnnsnnKs解得与标准形式比较并化成标准形式求闭环传递函数23试确定系统的传递函数0.95)h(5s,t37%,σ%:指标为统阶跃响应曲线性能已知单位反馈的二阶系s29.538.103.53.23.23.23.2/5.3ςς22nns220s0stsss0.32s0.95即Φ(s)0.95KΦ(s),lims1sΦ(s)limc(t)lim)h(0.95,)由h(0.3)(55s,3.5/由t0.3,37%，得由σ%:由所给指标可求得例322nns2ζsKΦ（s）:二阶系统的传递函数为n2解：由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。0t(s)0.95tpc(t)524例4系统如图示时的响应为求)(1)(ttr)(thaKK,,21解：依题可知%92218.2%75.02)(pth)1(22)(2222212221nnnnnaKssKKassKKs)2(21..lim)().(.lim)(1222100KsKassKKssRsshss25)4(75.012npt22122ln0.090.76651%0.09(5)0.76650.60833(52.55)10.7665e:)4()5((6)236.5608.0175.02秒弧n)1()6).(5(237.6236.5608.0224.27236.51222KaKnn26)4(75.012npt22122ln0.090.76651%0.09(5)0.76650.60833(52.55)10.7665e:)4()5((6)236.5608.0175.02秒弧n)1()6).(5(237.6236.5608.0224.27236.51222KaKnn27四改善二阶系统响应的措施1)改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。2)改善的办法：①采用比例微分控制：引入零点，即在前向通路中串入一个PD控制环节；②采用测速反馈控制。281.误差信号的比例－微分控制29系统开环传函为：2(1)()()()(2)ndnTsCsGsEsss闭环传函为：2222(1)()()()(2)ndndnnTsCssRssTs等效阻尼比：12ddnT30可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。31前面图的相应的等效结构由此知道：12()()()ctctct