二次函数与一元二次方程-

5.4二次函数与一元二次方程(1)九年级(下册)初中数学回顾旧知（1）解一元一次方程x＋1＝0；（2）画一次函数y＝x＋1的图像，并指出函数y＝x＋1的图像与x轴有几个交点；（3）一元一次方程x＋1＝0与一次函数y＝x＋1有什么联系？xy–1–21–1123O5.4二次函数与一元二次方程(1)xyy＝x2－2x－3函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为（－1，0）（3，0）方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1,x2＝3你发现了什么？（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根;（2）二次函数与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程去解决.函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为（－1，0）（3，0）方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1,x2＝3探究一：图象与x轴的交点的坐标是什么？例1.求二次函数y＝x2＋4x－5的图象与x轴的交点坐标.解：令y＝0则x2＋4x－5＝0解之得，x1＝－5,x2＝1∴二次函数y＝x2＋4x－5的图象与x轴的交点坐标为：（－5，0）（1，0）结论一：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（），B（）X1，0X2，0探究2、抛物线与x轴的公共点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？Oxy与x轴的公共点个数一元二次方程根的个数2个2个不等根b2-4ac＞01个2个等根0个0个b2-4ac＜0b2-4ac=01062xxy962xxy862xxy一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根※b2-4ac＞0※b2-4ac=0※b2-4ac＜0例2.判断下列二次函数图象与x轴的交点情况y＝x2－1；解：∵b2－4ac＝02－4×1×(－1)=4＞0∴函数与x轴有两个交点练习1不画图象判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由．(1)y=x2-x(2)y=-x2+6x-9(3)y=3x2+6x+11•例1．已知抛物线•（1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？•（2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求出这个公共点的坐标．•（3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?例题分析：kxxy232根据对应方程的根的情况，可以确定二次函数的图象与x轴的交点个数。•例2．已知：抛物线•求证：此抛物线与x轴必有两个不同交点．例题分析：22kkxxy即证明对应方程中的b2-4ac＞0例3.(1)已知二次函数y=x2-4x+k+2的图象与x轴有公共点，求k的取值范围.(2)已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为.(3)若函数14)2(2xxay与x轴有交点,求a的取值范围.练习2、已知抛物线y=x2-6x+a,(1)顶点在x轴上，则a=；(2)若抛物线与坐标轴有两个公共点则a=；xyo99或01．已知抛物线．•（1）求它与x轴交点A、B的坐标，与y轴交点C的坐标．•（2）求△ABC的面积．24632xxy•已知二次函数•（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点．•（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0），求B点的坐标．222mmxxy•已知抛物线与坐标轴只有两个交点，求k的值．1222kxxy联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？例如:二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？分析:两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.拓展：二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点（即相切），求b的值.解：由题意，得消元，得x2－x－3＝x＋b整理，得x2－2x－（3＋b）＝0∵有唯一交点∴（－2）2＋4（3＋b）＝0解之得，b＝－4y＝x2－x－3y＝x＋b1.若2，4是方程的两个根，则对应抛物线y＝的对称轴是_________.拓展与延伸：022nxxnxxy222.关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在_________象限.交流总结同学们，通过这节课的学习，你收获了什么？