圆锥曲线离心率范围的四种题型

圆锥曲线离心率范围四种题型椭圆的离心率的范围是高考的重点，其主要是列出cba,,的不等式，进而求出离心率的范围。其中列不等式是这种题目的重点，下面我们说下列不等式的几种方法。一、根据圆锥曲线中所隐含的不等关系列式例1：已知椭圆)0(12222babyax的左右焦点分别是)0,(),0,(21cFcF，若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得1221sinsinFPFaFPFc，则该椭圆的离心率的范围是_________.解：由已知得2112sinsinFPFFPFace，由正弦定理得211221sinsinFPFFPFPFPF所以22212PFPFaPFPFe，进而caaPF222。又因为caPFca2且10e，解得离心率范围是)1,12(。变式训练1：设椭圆)0(12222babyax的两焦点为21,FF，若在其右准线上存在一点P，使得线段1PF的中垂线过点2F，求椭圆离心率的范围。变式训练2：双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，若P为其上一点，且212PFPF，则双曲线离心率的取值范围。变式训练3：双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，若P为右支上一点，且214PFPF，则双曲线离心率的取值范围。二、有关存在性问题求离心率例2：设P是椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF是椭圆的左右焦点，已知oPFF6021，求椭圆离心率的范围。分析：要想使得存在椭圆上的一点P，满足oPFF6021，也就是要求当点P在椭圆上运动时，ooPFFPFF60)(,60)(max21min21即可。当点P在椭圆的长轴端点时，21PFF取得最小值为o0，所以当点P在椭圆的短轴端点时，21PFF取得最大值大于或者等于o60即可。变式训练1：椭圆)0(12222babyax的两焦点为21,FF，若椭圆上存在一点P，使得21PFPF，求椭圆离心率的范围。变式训练2：双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，若P为右支上一点，221PFPF的最小值为a8，则双曲线离心率的取值范围。三、有关恒成立问题求离心率例3：已知21,FF是椭圆的两焦点，满足021MFMF的点M总是在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围。分析：由条件021MFMF知，21MFMF，则点M在以21FF为直径的圆上，又因为点M在椭圆内部，则圆在椭圆内部。四、根据题目中的不等关系列不等式求离心率。例4：已知椭圆)0(12222babyax的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线043:yxl交椭圆于BA,两点，若4BFAF，点M到直线l的距离不小于54，求椭圆离心率的范围。分析：根据4BFAF得到2a，进而求出点M到直线l的距离d，根据54d，求出离心率的范围。变式训练1：已知椭圆)0(12222babyax的两个焦点分别是21,FF，斜率为k的直线l过左焦点，且与椭圆的焦点为BA,，与y轴的交点为C，又B为线段1CF的中点，若214k，求椭圆离心率的取值范围。变式训练2：已知梯形ABCD中，CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过EDC,,三点，且以BA,为焦点，当4332时，求双曲线离心率的取值范围。