圆锥曲线离心率公开课课件

公开课课件目录/DIRECTORY1求离心率值问题常见题型2求离心率范围的问题基本概念根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造a，c的关系(特别是齐二次式)，进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e.方法一：构造a，c的齐次式求离心率例2：设椭圆的两个焦点分别是12,FF，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.解析：题目中出现了等腰直角三角形，所以这个是我们的突破点在12FPF中，212PFFF且2PF是通径的一半22bPFa，即22bca解得21e例1构造a，c的齐次式求离心率解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝bca2＋b2＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.2.[P5：若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A.5B.5C.2D.2例2构造a，c的齐次式求离心率方法二：在焦点三角形寻找a，c的齐次式求离心率利用焦点三角形三边关联性，再结合余弦定理寻找出a,c的齐次式，从而求离心率在焦点三角形中寻找关系：(2018·茂名模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为A.7B.4C.233D.3例3在焦点三角形中寻找关系解析因为△ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，因为A为双曲线右支上一点，所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，因为B为双曲线左支上一点，所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，又e1，所以e＝7.故选A.x2a2－y2b2：已知双曲线C：＝1(a0，b0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为_例4在焦点三角形中寻找关系解析设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQ的一个内角为60°，∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝43(舍负).在焦点三角形中寻找关系例5在焦点三角形中寻找关系(高考真题）在焦点三角形中寻找关系例3：已知,AB为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形且顶角为120，则E的离心率为_________.例6方法三：利用几何性质求离心率（高考真题）上图中A,B两点不是焦点，2ABa,且条件中没有b和c的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,ab的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。解析：从M点作x轴的垂线，垂足为C，因为2,60BMaMBC所以,3BCaMCa，所以点M的坐标为(2,3)aa代入到双曲线中得2222(2)(3)1aaab整理得2e三明质检利用几何性质求离心率利用几何性质求离心率（高考真题）1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：（1）焦半径的取值范围为1acPFac.二：求离心率范围和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有,,abc或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为（2）椭圆焦点三角形顶角范围2212bMFMFa(3)一般结论：例8：双曲线22221xyab的两个焦点分别是12,FF，若P是其上的一点，且12||2||PFPF，则双曲线的离心率的取值范围是________.例7利用焦半径范围解析：（两种方法）方法一：122PFPFa，且12||2||PFPF，则124,2PFaPFa因为P不确定，但是可知P不可能是右支的顶点，所以12,,PFF构成三角形，则1212PFPFFF，即62ac，解得13e方法二：注意到12,PFPF均为焦半径，点P在右支上，且22PFa所以根据在双曲线中焦半径的取值范围可知2PFca即2aca解得13e解析：（两种方法）方法一：122PFPFa，且12||2||PFPF，则124,2PFaPFa因为P不确定，但是可知P不可能是右支的顶点，所以12,,PFF构成三角形，则1212PFPFFF，即62ac，解得13e方法二：注意到12,PFPF均为焦半径，点P在右支上，且22PFa所以根据在双曲线中焦半径的取值范围可知2PFca即2aca解得13e例9：已知椭圆22221xyab的左右焦点分别是12(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在点P，使1221sinsinacPFFPFF，求该椭圆离心率的取值范围__________.解析：题目中出现了1221sinsinacPFFPFF，很容易想到分式里面跟角度有关的正弦定理，所以变形一下得211122sinsinPFFPFcaPFFPF因为122PFaPF，所以212122sin2sinPFFaPFcaPFFPF注意2PF为焦半径，因此2acPFac所以不等关系就能找出来了，解不等式可得211e例8利用焦半径范围例10：设P是椭圆22221xyab上一点，且1290FPF，其中12,FF是椭圆的两个焦点，求椭圆离心率的取值范围_________.解析：该题目之前讲过，考察的是焦点三角形顶角的最大值问题，当焦点三角形的顶角处于短轴的交点位置时，12FPF最大，题目中给出1290FPF，且点P位置不确定，因此11290FPF，因此在12RTFPF中，1111FPOPFO故cb，根据不等式可解得212e例9利用焦点三角形顶角范围121222120,120180,36090,sin[,1).2FMFFBFOBFeOBFooooo解析：如图，由题意得)1,23[利用焦点三角形顶角范围一般结论：椭圆G：22221(0)xyabab的两焦点为12(,0),(,0)FcFc，椭圆上存在点M使12(0180)FMF，则椭圆离心率e的取值范围是)1,2[sin利用焦点三角形顶角范围)1,22[解析:由椭圆的定义，可得122212122,()2MFMFMFMFaMFMFa，又2122MFMFb，所以222ab，即2222()aac所以22cea，所以椭圆离心率的取值范围是2[,1)2.2212aMFMFb一般结论：例10利用2212bMFMFa求圆锥曲线离心率值及范围常见题型与思路1，直接利用已知条件找关系2，在焦点三角形中找关系3，利用条件中平面几何知识，结合椭圆（双曲线）特殊边，角找关系谢谢大家！