数的整除(2)质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类:(1)单位1:只含有1这一个因数的自然数。(2)质数(也称为素数):只含有1与它本身这两个因数的自然数。(质数有无穷多个,不存在最大的质数,但有最小的质数2,而且2是质数中唯一的偶数。)(3)合数:含有三个或三个以上因数的自然数。(4)分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。(5)因数个数定理:例如:1980=22×32×5×11所以:(T表示因数个数)T(1980)=(1+2)×(1+2)×(1+1)×(1+1)=36(6)因数和的定理:例如:1980=22×32×5×11所以:S(1980)=(02+12+22)×(03+13+23)×(05+15)×(011+111)=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49,这两个质数的积是多少?解:因为两个质数的和49是奇数,所以必有一个质数是偶数,另一个质数是奇数,而偶数中只有2是质数,于是另一个质数是49-2=47,从而得到它们的积是2×47=94。例2、有三张卡片,上面分别写着2、3、4三个数字,从中任意抽出一张、两张、三张,按任意顺序排列起来,可以得到不同的一位数、两位数、三位数,写出其中的质数。解:由于2+3+4=9是3的倍数,所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数,末尾数字不能是2和4,只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。例3、360这个数的因数有多少个?这些因数的和是多少?解:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5,所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个因数。因数的和是:(1+2+22+23)×(1+3+32)×(1+5)=1170例4、筐里共有96个苹果,如果不一次全拿出,也不一个个地拿;要求每次拿出的个数同样多,拿完时,又正好不多不少,有多少种不同的拿法?解:每次拿的个数都是96的因数(除96和1之外),这样问题转化为求96的因数个数,将96分解质因数,得96=2×2×2×2×2×3,除去96和1之外,96的因数有10个:2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。【精英班】例5、504乘一个自然数a,得到一个平方数,求a的最小值和这个平方数。解:一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23×32×7=22×32×(2×7),还少(2×7),使得504×a是个平方数,所以所求的a的最小值是2×7=14;这个平方数是504×14=7056。【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等,可以怎样分?说明理由。14,33,35,30,75,39,143,169.解:14=2×7,33=3×11,35=5×7,30=2×3×5,75=3×5×5,39=3×13,143=11×13,169=13×13.这八个数分解质因数后共有质因数18个(包括相同的),其中:质因数2有两个,质因数3有4个,质因数5有4个,质因数7有2个,质因数11有2个,质因数13有4个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里,因此可以分为:(1)(14,75,33,169)和(30,35,39,143)或(2)(14,75,39,143)和(30,35,33,169).【课后分层练习】A组:入门级1、有7个不同的质数,它们的和是60,其中最小的质数是多少?解:6个奇质数的和是偶数,60减去偶数仍是偶数,所以剩下的一个质数应当是唯一的偶质数2,即这7个数中最小的是2.2、如果“○”是一个质数,“□”是一个合数,下列第(4)项的值一定是一个质数。(1)○+□(2)○-□(3)○×□(4)○×□÷□3、210的因数有几个。这些因数的和是多少?解:210=2×3×5×7,根据因数个数和及因数和定理有:210的因数有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个。这些因数的和是1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+7)=576.2、用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有多少种不同的拼法?解:105=3×5×7;105共有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个因数,所以共有不同8÷2=4(种)拼法。3、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三人年龄的乘积是1620.这三个学生的年龄分别是几岁。解:1620=2×2×3×3×3×3×5=9×12×15.他们的年龄分别是9岁、12岁、15岁。B组:进阶级1、哥德巴赫猜想是说:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和,问:168是哪两个两位数的质数之和,并且其中一个的个位数字是1?解:个位数字是1的两位质数有11,31,41,61,71;其中168-11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是两位数,只有168-71=97是两位数,而且是质数,所以168=71+97.2、甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10的自然数,规定禁止在黑板上写已写过的数的因数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数,试问谁一定获胜?给出一种获胜的方法。解:甲必胜。甲先写6,这样除去6的因数1,2,3,6,乙只能写4,5,7,8,9,10中的一个数,甲心中把(4,5),(7,9),(8,10)分组,乙写任何一组中的某个数,甲写这一组中的另一个数,则甲总可获胜。3.将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成三组,第一组数的连乘积与第三组数的连乘积相等,第二组各数的和是15,问每组的数各是多少?解:2,4=2×2,6=2×3,8=2×2×2,由于两组的积相等,显然是4和6在一组,1、2、5、7只出现一次,其和正好为15.这样3,4,6,8,9分成两组,即为3,4,6和8,9.因此三组数是:(3,4,6);(1,2,5,7);(8,9)。4、1×2×3×…×40能否被90909整除?解:首先将90909分解质因数,得90909=33×7×13×37。因为33(=27),7,13,37都在1~40中,所以1×2×3×…×40能被90909整除。C组:挑战级1、学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的若干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法?解:按题意,每队人数×队数=1430,每队人数在100至200之间,所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的因数。为此,先把1430分解质因数,得1430=2×5×11×13。从这四个质数中选若干个,使其乘积在100到200之间,这是每队人数,其余的质因数之积便是队数。2×5×11=110,13;2×5×13=130,11;11×13=143,2×5=10。所以共有三种分法,即分成13队,每队110人;分成11队,每队130人;分成10队,每队143人。2、试求不大于50的所有因数个数为6的自然数。解:因为这个数有六个因数,6=5+1=(2+1)×(1+1),所以,当这个数只有一个质因数a时,这个数是a5;当这个数有两个质因数a和b时,这个数是a2×b。因为这个数不大于50,所以对于a5,只有a=2,即25=32;对于a2×b,经试算得到,22×3=12,22×5=20,22×7=28,22×11=44,32×2=18,32×5=45,52×2=50。所以满足题意的数有八个:32,12,20,28,44,18,45,503、要使1×2×3×4×5×…×n的积得尾部仅有10个连续的零,n最小值是();最大值是()。解:这n个连续自然数分解质因数后至少必须共含有十个因数2和十个因数5.当n=45时,其中5的倍数有9个,一个倍数是25的,已经含有十个因数5.这样最小值是45,最大值是49.【温馨提示】下节课我们将学习《数的整除(3)最大公因数、最小公倍数》,请作好预习。