第二章-导数与微分习题汇总

第二章导数与微分【内容提要】1．导数的概念设函数y＝f(x)在x0的某邻域（x0－δ，x0+δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x在点x0处有改变量Δx时，相应地，函数有改变量00()()yfxxfx．若0x时，极限xyx0lim存在，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，称此极限值为f(x)在点x0处的导数，记为)(0xf或)(0xy或0|xxy或0|ddxxxy或0|ddxxxf0x时，改变量比值的极限xyx0lim称f(x)在x0处的右导数，记为)(0xf。0x时，改变量比值的极限xyx0lim称f(x)在x0处的左导数，记为)(0xf。2．导数的意义导数的几何意义：)(0xf是曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。导数的物理意义：路程对时间的导数)(0ts是瞬时速度v(t0)。以此类推，速度对时间的导数)(0tv是瞬时加速度a(t0)。3．可导与连续的关系定理若函数)(xfy在点x0处可导，则函数在点x0处一定连续。此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。4．导数的运算定理1（代数和求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则vuvu)(定理2（积的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则vuvuuv)(定理3（商的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，且v(x)≠0，则2vvuvuvu定理4若函数)(xgu在点x处可导，且)(ufy在其相应点u处可导，则复合函数)]([xgfy在x处可导，且xuxuyy或ddddddyyuxux5．基本初等函数求导公式本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下：0)(C1)(xxaaaxxln)(xxe)e(axxaln1)(logxx1)(lnxxcos)(sinxxsin)(cosxx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(x这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。6．微分的概念设函数)(xfy在点x处可导，则称函数)(xf在x点的导数)(xf与自变量增量Δx的乘积为函数)(xfy在x处的微分，记为xxfy)(d若xy，则Δx＝dx，即自变量的微分等于自变量的改变量，因此函数的微分可记为xxfyd)(d由xxfyd)(d可知，先计算函数的导数，再乘以dx或Δx，就得到函数的微分dy。7．微分的计算由xxfyd)(d可知，微分的计算归结为导数的计算。由初等函数导数的计算公式、法则和方法，可以直接得到微分基本公式和运算法则：d()0C1d()dxxxd()lndxxaaaxd()dxxeex1lnd(log)daxaxx1d(ln)dxxxd(sin)cosdxxxd(cos)sindxxx2d(tan)secdxxx2d(cot)cscdxxxd(sec)sectandxxxxd(csc)csccotdxxxx21d(arccos)d1xxx21d(arcsin)d1xxx21d(arctan)d1xxx21d(arccot)d1xxx微分的运算法则如下：四则运算法则：当u、v可微时，d(u±v)＝du±dvd(uv)＝vdu＋udvd(Cu)＝Cdu2ddvudvvuuv，(v≠0)复合函数的微分法则：设函数y＝f(x)可微，当x是自变量时，xxfyd)(d；当x是中间变量x＝g(t)时，复合函数y＝f[g(t)]的微分为xxftgxfttgxftyytd)()(d)(d)()(dd。就是说，不论x是中间变量还是自变量，函数y＝f(x)的微分都可以表示为xxfyd)(d。由于表达形式一致，称之为一阶微分的形式不变性。8．微分的简单应用由微分的定义可知，当x很小时，可以用函数)(xfy的微分dy代替函数改变量y，误差仅为x的高阶无穷小，即xxfyyd)(d0由)()(00xfxxfy，得到近似公式xxfxfxxf)()()(000记x＝x0＋Δx，近似公式可以写为))(()()(000xxxfxfxf若取x0＝0，则得到当|x|很小时，fx的近似公式xffxf)0()0()(微分还可以用来估计误差。若)(xfy，测量x时产生的绝对误差为x，当x很小时，函数)(xfy的绝对误差、相对误差分别计算为|d|||yy，|||d|||||yyyy【习题解答】2-1求下列函数的导数。（1）3421yxx；（2）212xxy；（3）442xxy；（4）y＝(x2＋3)tanx；（5）xxyln；（6）xxy11)1(；（7）xxxycos1sin；（8）y＝secxtanx＋cscxcotx；（9）2lglog2xxy；（10）tty1111。解（1）2122yx（2）21yxx（3）443852816616xxxxyxx（4）y'＝2xtanx+(x2＋3)sec2x（5）ln22xyx（6）111111(1)2222yxxxxxxxx（7）2(sincos)(1cosx)xsinx(sinx)sin(1cos)1cosxxxxxyxx（8）y'=secxtan2x+sec3x-cscxcot2x-csc3x（9）21logln2yx（10）221122(1)(1)ttytt2-2设f(x)＝cosxsinx，求)0(f、2πf。解f'(x)=-sinxsinx+cosxcosx=cos2x)0(f=12πf=-12-3设21)(xxxf，求)0(f、)2(f。解2222221(2x)1()(1)(1)xxxfxxx)0(f=1)2(f=5/92-4求曲线y＝4x2＋4x－3在点(1，5)处的切线和法线方程。解y'=8x+4k=12切线方程12x-y-7=0法线方程x+12y-61=02-5物体运动方程为s＝t＋sint，求物体运动的速度和加速度。解scosvttsasin2-6求下列各函数的导数。（1）21xy；（2）y＝cosaxsinbx；（3）y＝ln2x；（4）y＝lncosx；（5）2sin22xy；（6）212arctanxxy；（7）2cos2xy；（8）22arctanxaxy；（9）xxysin1sin1ln；（10）2ekxy。解（1）解2x1xy（2）bxaxbbxaxaycoscossinsin（3）2lnxyx（4）xxxytancossin（5）222sin)(2cos2sin2xxxxxy（6）22222212)1()2(2)1(2)1x2(11xxxxxxy（7）xxxysin2121)2sin(2cos2（8）2222222222222222)(11xaaxaxaxaxxxaxaxy（9）xxxxxyxxxxxxycos1cossinsin1coscosln)sin1ln(cossin1lnsin1sin1ln（10）222)2(ekxkxkxekxy2-7求下列各隐函数的导数。（1）y2＝apx；（2）x2＋y2－xy＝1；（3）x3＋y3－3axy＝0；（4）y＝1－xey。解（1）y2＝apx2yy’=apy’=ap/2y（2）x2＋y2－xy＝12x+2yy’-y-xy’=0y’=(y-2x)/(2y-x)（3）x3＋y3－3axy＝03x2+3y2y’-3ay-3axy’=0y’=(3ay-3x2)/(3y2-3ax)（4）y＝1－xeyy’=-ey-xeyy’y’=-ey/(1+xey)2-8取对数求下列各函数的导数。（1）xy＝(x＋1)2(x－2)3；（2）)4)(3()2)(1(xxxxy；（3）yx＝xy；（4）ey＝xy。解（1）xy＝(x＋1)2(x－2)3lnx+lny=2ln(x+1)+3ln(x-2)1/x+y'/y=2/(x+1)+3/(x-2)（2）)4)(3()2)(1(xxxxylny=ln(x+1)+ln(x-3)-ln(x+3)-ln(x-4)y'/y=1/(x+1)+1/(x-3)-1/(x+3)-1/(x-4)（3）yx＝xyxlny=ylnxlny+xy'/y=y'lnx+y/x（4）ey＝xyy=lnx+lnyy'=1/x+y'/yy'=y/x(y-1)2-9求下列各函数的二阶导数。（1）y＝exsinx；（2）xxye2；（3）y＝2x2＋lnx；（4）y＝acosbx。解（1）y＝exsinx(sincos)xyexx(sinxcosx)e(cosxsinx)2ecosxxxyex（2）22exxyxxe224exxxyexex（3）14yxx214yx（4）sinyabbx2cosyabbx2-10某物体降温过程中的温度为0ektuu，求物体的冷却速率。解0ektuku2-11口服某药物后，血药浓度为)ee()(mtktatC，求血药浓度的变化率。解()(ke+me)ktmtCta2-12一截面为倒置等边三角形的水槽，长20m，若以3m3/s速度把水注入水槽，在水面高2m时，求水面上升的速度。解设水面高hm时体积为vm3则2v2033h4033vhh3vh=2所以33m/s80()h2-13求下列各函数的微分。（1）21xxy；（2）322)(xay；（3）y＝xsinx＋cosx；（4）y＝arctanex；（5）y＝ln(1＋x4)；（6）)3cos(exyx。解（1）2221dd(1)xyxx（2）22d3dyxaxx（3）dy＝xcosxdx（4）2dd1xxeyxe（5）344dd1xyxx（6）d(esin(3))dxyxx2-14在括号内填入适当函数，使下列等式成立。（1）d()＝3dx；（2）d()＝2xdx；（3）d()＝exdx；（4）d()＝sintdt；（5）d()＝211xdx；（6）d()＝sec2xdx．解（1）d(3x)＝3dx（2）d(x2)＝2xdx（3）d(ex)＝exdx（4）d(-cost)＝sintdt（5）d(ln(1+x))＝211xdx（6）d(tanx)＝sec2xdx2-15已知2ln(1)arctanxtytt，求ddyx，22ddyx。解2222d1d1txttytdd2ytxd1d()d2yx222d1d4ytxt2-16在|x|很小时，证明下列各近似公式。（1）xex1；（2）nxxn1)1(；（3）xxtan；（4）xx)1ln(。解（1）000000(),0,,()1,()1()()()1xxfxexxxfxfxfxxfxfxxex（2）000000()(1),0,,(),()1()()()(1)1nnfxxxxxfxnfxfxxfxfxxxnx