《解释几何-第四版》第四章--柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面--讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面主要内容1、柱面2、锥面3、旋转曲面4、椭球面5、双曲面6、抛物面7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线第一节柱面定义平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.设柱面的准线为)1(0),,(0),,(21zyxFzyxF母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为)2(111ZzzYyyXxx且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)从（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程。柱面举例xozyxozyxy22抛物柱面xy平面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例12222czby椭圆柱面母线//轴x12222byax双曲柱面母线//轴zpzx22抛物柱面母线//轴y只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.例1、柱面的准线方程为2221222222zyxzyx而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。例2、已知圆柱面的轴为21211zyx点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。定理4.1.1在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。证明：我们不妨证明方程是母线平行于Z轴的柱面。取曲面与xOy面的交线作准线，z轴的方向为母线的方向，来建立柱面方程。任取准线上的一点，过的母线方程为取曲面而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。(,)0Fxy(,)0Fxy(,)0(1)0Fxyz0,0,11111(,,)Mxyz1M111001xxyyzz即又因为点在准线（1）上，，所以又有将（2）代入（3）消去参数，得到所求的柱面方程为同理，与分别表示母线平行于X轴和y轴的柱面。方程分别表示椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面。11(2)xxyy111(,,0)Mxy11(,)0(3)Fxy11,xy(,)0Fxy(,)0Gyz(,)0Hzx2222222221,1,2xyxyypxabab2.空间曲线的射影柱面设空间曲线为依次从（1）中消去一个元，可得任取其中两个方程组成方程组，比如(,,)0:(1)(,,)0FxyzLGxyz123(,)0(,)0(,)0FxyFxzFyz12(,)0(2)(,)0FxyFxz那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而曲面与曲面都通过已知曲线（1）同理方程也通过已知曲线（1）。我们把曲面称为空间曲线（1）对xOy坐标面的射影柱面，而曲线称为空间曲线（1）在xOy坐标面上的射影曲线。同理，曲面与曲面分别叫做方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面1(,)0Fxy2(,)0Fxz3(,)0Fyz1(,)0Fxy1(,)00Fxyz2(,)0Fxz3(,)0Fyz而曲线与曲线分别叫做曲线（1）在xOz坐标面与yOz坐标面上的射影曲线。例：从方程组消去y，得，这就是空间曲线L在2(,)00Fxzy3(,)00Fyzx2222244:3812xzyzLxzyz2240xzzyxOz面上的射影柱面，曲线为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线从方程组消去z，得，这就是空间曲线L在xOy面上的射影柱面，曲线为曲线L在xOy坐标面上的射影曲线曲线L也可以看成是2240xzzy2222244:3812xzyzLxzyz240xy2400xyz222440xzzxy作业P147:1,3,8(1),(2)第二节锥面)1(0),,(0),,(21zyxFzyxF一、锥面1、定义在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。2、锥面的方程设锥面的准线为顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：)2(010010010zzzzyyyyxxxx且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0（3）从（2）（3）中消去参数x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面方程。例1、求顶点在原点，准线为czbyax12222的锥面的方程。答：0222222czbyax（二次锥面）例2：已知圆锥面的顶点为（1,2,3），轴垂直于平面2x+2y-z+1=0，母线与轴成角，试求这圆锥面的方程。解：设为任意母线上的一点，那么过点的母线的方向向量而在直角坐标系下，圆锥面的轴线的方向就是平面的法向量，即为有整理得30o22211(1)11(2)23(3)32(1)(2)16(1)(3)16(2)(3)0xyzxyxzyz1111(,,)Mxyz1M1,2,3xyz2x+2y-z+1=02,2,1n03cos302nn定理4.2.1一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。齐次方程：设λ为实数，对于函数f(x,y,z)，如果有f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)则称f(x,y,z)为λ的齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次方程。例如，方程x2+y2-z2=0圆锥面又如，方程x2+y2+z2=0原点（虚锥面）作业:P151:2,3,5第三节旋转曲面一、.旋转曲面1、定义:以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴.曲线C称为旋转曲面的母线oC纬线经线二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：)1(0),,(0),,(:21zyxFzyxFC旋转直线为：)2(:000ZzzYyyXxxL其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。所以过M1的纬圆的方程为：201201201202020111)()()()()()()3(0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。又由于M1在母线上，所以又有：)4(0),,(0),,(:11121111zyxFzyxFC从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。例1、求直线0112zyx绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx又由于M1在母线上，所以又有：0112111zyx即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：已知yoz面上一条曲线C,方程为,曲线C绕z轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0,y1`,z1)是C上任意一点,则有f(y1,z1)=0当C绕z轴旋转而M1随之转到M(x,y,z)时,有00),(xzyf221yxy将z1=z,代入方程f(y1,z1)=0,xozy0),(zyf),,0(111zyMMd00),(xzyfyoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为.0,22zxyf得旋转曲面的方程:0),(22zyxf即规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。例1直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．xozy解yoz面上直线方程为cotyz),,0(111zyM),,(zyxM圆锥面方程cot22yxzoxzy例2:求直线z=ay绕z轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz=ay解:将y用代入直线方程,得22yx)(22yxaz平方得:z2=a2(x2+y2)该旋转曲面叫做圆锥面,其顶点在原点.例3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转绕z轴旋转122222czyax122222czayx旋转双曲面（单叶）（双叶）例4、将圆0)0()(222xabazby绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：22222)(azbyx即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面。（2）椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面（3）抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面（长形）（短形）作业:P158:1(1),(4)第四节椭球面二次曲面的定义：三元二次方程相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的平面截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．一、基本内容所表示的曲面称之为二次曲面．ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆kzckbyax2222221当|k|c时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c时,椭圆退缩成点.二.几种常见二次曲面.（一）椭球面1用平面z=0去截割,得椭圆012222zbyax1222222Czbyax3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:,012222xczby.012222yczax特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.§4.5双曲面单叶双曲面1222222czbyax（1）用坐标面与曲面相截)0(zxoy截得中心在原点的椭圆.)0,0,0(O012222zbyax与平面的交线为椭圆.1zz当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.1zz122122221zzczbyax（2）用坐标面与曲面相截)0(yxoz截得中心在原点的双曲线.012222yczax实轴与轴相合，虚轴与轴相合.xz122122221yybyczax双曲线的中心都在轴上.y与平面的交线为双曲线.1yy)(1by,)1(221byx实轴与轴平行,z虚轴与轴平行.,)2(221byz实轴与轴平行,x虚轴