Z09-劳斯判据

第9节稳定性分析（劳斯判据）1稳定性的基本概念2劳斯稳定判据3奈氏判据前曲稳定临界不稳定9.1稳定性的基本概念stableunstable系统在扰动作用下，动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零，称系统稳定；否则，系统动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定。Exampleofunstablesystem跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。1950TacomaBridgeBecauseitsengineshavenomovingparts,X-43Aistaken12,000meters(40,000ft)intotheskyonaB-52jet,andlaunchedfromaPegasusboosterrocketinordertogetgoingfastenoughforthescramjetstooperate绝对稳定性相对稳定性稳定或不稳定稳定的程度开环不稳定系统feedback闭环稳定系统闭环控制的优点闭环控制也能让开环稳定系统变成不稳定稳定性研究的历史•1868J.C.Maxwell对调节器进行了模型研究，提出了稳定性条件•1877E.J.Routh得到了稳定性的代数判据•1893Lyapunov研究了动态系统的稳定性理论•1932Nyquist发展了稳定性的判别方法系统的稳定性可以分为大范围稳定和小范围稳定。对于线性的稳定系统必须在大范围和小范围内都稳定。而非线性系统则可能在小范围内稳定，大范围内不稳定。系统稳定的充分必要条件()()()()[()][()]iiiiiCsBsRsspsjsj系统在脉冲信号下的响应为()(cossin)iipttiiiiictceeAtBt当pi和σi都为负值时,随时间趋于无穷,响应趋于零.系统稳定的充分必要条件:系统特征方程的根全部具有负实部,或系统的极点全部在S平面左半部若特征根在S右半平面，则系统不稳定。若特征根在虚轴上，则系统临界稳定。9.2劳斯稳定判据•劳斯判据是根据系统特征方程的系数来判断系统是否稳定.这是个数学问题！系统稳定的必要条件:特征方程的系数全部为正,且不为零.120121()nnnnnDsasasasasa特征方程024113511232121101nnnsaaasaaasbbbseesfsg劳斯阵列120311140521aaaabaaaaaba120311140521aaaabaaaaaba分母为该元素上一行第一列元素;分子为上两行第一列元素和后一列两个元素交叉乘积之差劳斯判据:系统稳定的充分必要条件为劳斯阵列的第一列元素不改变符号.若第一列元素改变符号,则系统不稳定.且符号改变的次数等于正实根的个数.例43223450ssss4321013524023142510152214256015sssss分析如下系统在稳定的情况下，系数满足的条件20120asasa0120,0,0aaa32101230asasasa01212030,0,0aaaaaaa，•特例1:劳斯阵列某一行的第一列元素为零,其余各项不为零.解决办法：用很小的正数ε代替零元素,继续计算,完成阵列4321013126001621sssss43223610ssss例:•特例2:某一行元素全部为零解决办法：用该行上一行元素构成辅助多项式,取辅助多项式的一阶导数所得到的系数代替零行543255660sssss54321015615641002.560.406ssssss42356410ssss辅助多项式求导例:在这种情况下，系统有特征方程的根在虚轴上。求解辅助方程可以求得在虚轴上的根的大小。劳斯稳定判据的应用2(1)(2)Kssss确定使系统稳定的K值范围2(1)(2)KssssK闭环传递函数特征方程4323320ssssK43210133207392070sKssKsKsK1408KK的取值范围9.3乃奎斯特判据（前曲）利用系统的开环频率特性确定系统闭环以后的稳定性•柯西是法国数学家.1789年------1857年•一生发表了789篇论文，出版专著7本，全集共有十四开本24卷•柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法.另一个重要贡献，是发展了复变函数的理论.•数学中以他的姓名命名的有：柯西积分、柯西公式、柯西不等式、柯西定理、柯西函数、柯西矩阵、柯西变换、柯西准则.1.映射定理1()(2)(3)sFsss123bacps试验点1()(2)(3)ppppsFsss如何求F(sp)的幅值和相角?1()(2)(3)ppppsFsss幅值cMab相角123ps()Fs()pFs映射splaneF(s)planes平面的封闭轨迹映射为F(s)平面上的封闭轨迹Sp保角变换s平面包围1个零点ABDCF(s)平面映射轨迹S平面顺时针包围零点的轨迹映射为F(s)平面顺时针包围原点的轨迹。ABDCs平面包围一个极点F(s)平面映射轨迹S平面顺时针包围极点的轨迹映射为F(s)平面逆时针包围原点的轨迹。ABDC轨迹不包围极零点F(s)平面映射轨迹Cauchy’stheorem•S平面顺时针包围P个极点和Z个零点的轨迹映射为F(s)平面以顺时针包围原点N=Z-P的轨迹幅角原理幅角原理Example1()1sFssS包围极点S包围零点S包围极点和零点S不包围奇点记住s平面的轨迹不能通过任何极点或零点怎么应用这个定理进行稳定性的判别呢？