华科研究生数值分析PPT-绪论

任课教师：柴振华Email：[e-mail]数值分析(NumericalAnalysis)数值分析(NumericalAnalysis)考试方式：闭卷考试成绩：数值实验报告占20%，考试占80%有关数值实验报告的几点说明：1)题目范围：教材每章后面的数值实验题（自选三题）2)提交时间：第11周周一上午（C12-S201）3)要求：利用所学知识，并严格按照题目要求完成所选题目报告中必须包含详细的算法代码（C/C++、Matlab等）、数值结果（图形、表格）以及必要的结果描述与分析A4纸双面打印、首页（单面）须包含姓名、院系、学号等基本信息注：作业必须独立完成，若出现雷同，将视情况酌情扣分参考书目(Reference)数值分析李庆扬、王能超、易大义编著（清华大学出版社）NumericalAnalysis(SeventhEdition)数值分析（第七版影印版）RichardL.Burden&J.DouglasFaires（高等教育出版社）IntroductiontoNumericalAnalysis(SecondEdition)数值分析导论（第二版影印版）J.Stoer&R.Bulirsch（世界图书出版公司）数值分析学习辅导李红、徐长发编著（华工出版社）教材(TextBook)数值分析（第二版）李红编著（华中科技大学出版社）绪论数值分析概括为用计算机求解数学问题的数值方法和理论。在工程计算和科学实验中会遇到诸如线性方程组的求解、微分、积分、微分方程的求解等常见的数学问题。求解数学问题思维方式：（1）利用数学方法求出（或推导出）结果的解析表达式（又称解析解）（2）若实际中结果的解析表达式难以给出，例如满足某个微分方程的函数不易求得，采用数学理论与计算机相结合，寻求(设计)合适的算法以期得到问题的近似数值解——数值分析研究的主要问题。下面是两种思维过程的对比：•通常解决数学问题的思维方式实际问题数学模型解析表达式结果实际问题数学模型算法设计编程计算结果后者也正是利用计算机进行科学计算的过程。•数值分析的思维方式众所周知，电子计算机实质上只会做加减乘除等基本运算，研究怎样通过计算机所能执行的基本运算，求得各类数学问题的数值解或近似解就是数值计算的根本课题。由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤，称为算法。数值计算的根本任务就是研究算法。通过编制程序我们就可以计算sinx的近似值。事实上，计算机语言常用的数学运算的标准函数也可用这种方法写成。)()!12()1(!7!5!3sin1212753xRnxxxxxxnnn)!12()1(!7!5!3sin12753nxxxxxxnn例：计算任意角的三角函数，如sinx。不调用库函数，计算机是不能直接计算sinx的。根据微分学的Taylor公式，我们有：等式的右端就只是乘法与加法的循环运算。取算法1：按原形计算：需做次乘法、次加法1296.2912.1215.1425.00625.0234xxxx例：计算多项式的值。十四算法2；上述多项式化为1296.2)912.1)215.1)425.00625.0(((xxxx则需做次乘法、次加法。四四算法3；上述多项式化为xxx22[(0.5+0.6)+0.5+0.7][(0.5+0.6)+0.8]+0.9则需做次乘法、次加法。三五秦九韶（公元1202－1261）中国剩余定理《数书九章》（1247）秦九韶算法（1247）Hernor算法（1819）nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.....................................................22112222212111212111例：解线性方程组按Cramer法则求解，即nkDDxkk,...2,1,其中,nnnnnnaaaaaaaaaD.................................212222111211kD是把D中第k列Tnkkkaaa......21Tnbbb......21换为这要计算个行列式，做次除法。n+1n而每个行列式包含个乘积，每个乘积n!n-1需做次乘法.这样共需做nnnAn)1()!1(次乘除法。当n=20时，2020107.9A这意味着在每秒做一亿次乘除法的计算机上，要做多万年！30因此，在构造算法时，还应考虑如何计算,才能既快又省。•提问：数值分析是做什么用的？数值分析输入复杂问题或运算......),(,)(,,ln,,xfdxddxxfbxAxaxbax计算机近似解第一章误差/*Error*/§1误差的背景介绍/*Introduction*/1.来源与分类/*Source&Classification*/从实际问题中抽象出数学模型——模型误差/*ModelingError*/通过测量得到模型中参数的值——观测误差/*MeasurementError*/求近似解——方法误差(截断误差/*TruncationError*/)机器字长有限——舍入误差/*RoundoffError*/误差：一个物理量的真实值与计算值之间的差异§1Introduction:Source&Classificationdxex102近似计算:例大家一起猜？dxe2x1011/e解法之一：将作Taylor展开后再积分2xe91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4/*Remainder*/,104Sdxe2x取则111!5191!414R称为截断误差/*TruncationError*/005091!414.R这里7430024010333014211013114....S0010200050..|舍入误差/*RoundoffError*/|006000100050102...dxe-x的总体误差计算=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起§1Introduction:Spread&Accumulation2.传播与积累/*Spread&Accumulation*/例：蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个病态问题/*ill-posedproblem*/关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！§1Introduction:Spread&Accumulation......210110,,,n,dxexeIxnn例：计算11nnInI公式一：注意此公式精确成立632120560111100.edxeeIx记为*0I80001050.IIE则初始误差111111110010nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101............367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II????!!!Whathappened?!§1Introduction:Spread&Accumulation考察第n步的误差nE|)1()1(|||||*11*nnnnnnInIIIE||!01En||Enn我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动801050||.E)1(1111nnnnInIInI公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN,再反推要求的In(nN)。11)1(1NINeNNNINNeI11)1(121*可取0*NNNIIEN,时当§1Introduction:Spread&Accumulation632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI取Wejustgotlucky?§1Introduction:Spread&Accumulation考察反推一步的误差：||1)1(1)1(1||*1NNNNENININE以此类推，对nN有：||)1(...)1(1||NnEnNNE误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stablealgorithm*/在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。§2误差与有效数字/*ErrorandSignificantDigits*/绝对误差/*absoluteerror*/xxe**其中x为精确值，x*为x的近似值。||*e*ε10006074302..dxex**εxx，例如：工程上常记为，称为绝对误差限/*accuracy*/，的上限记为注：e*理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。e0不唯一，当然e越小越具有参考价值。§2ErrorandSignificantDigits相对误差/*relativeerror*/xeer**||***xεεrx的相对误差上限/*relativeaccuracy*/定义为注：从的定义可见，实际上被偷换成了，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？严格的说法是，与是否反映了同一数量级的误差？*re*re**xexe***xeDon’ttellmeit’s5%because…Butwhatkindofinformationdoesthat5%giveusanyway?NowIwouldn’tcallitsimple.Say…whatistherelativeerrorof20cm±1cm?3.1415926554102114159.3,10211416.3按四舍五入原则若取四位小数得3.1416，取五位小数则有3.14159，它们的绝对误差不超过末位数的半个单位，即有效数字/*significantdigits*/定义位有效数字。有位，则的第一位非零数字共有位的半个单位，该位到的误差限是某一（有效数字）若近似值nxnxx***§2ErrorandSignificantDigits五位有效数值六位有效数值§2ErrorandSignificantDigits用科学计数法，记（其中）。若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。mnaa.ax10021*01anm.xx1050||*na*xnm10*131403141510*05100510*.,|π..证明：有位有效数字，精确到小数点后第位。43注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！1415.3*;8979321415926535.3例：问：有几位有效数字？请证明你的结论。*例：以下数字是经四舍五入得到的，判定各有几位有效