第七章---固有模态理论

第七章固有模态理论§7.1离散有限元模型的振动基本方程7.1.1模型抽象化结构动力学的理论基础是弹性动力学。主要的研究内容是结构系统的有限元建模理论和动力学分析方法，包括振动特性分析与动响应分析。结构系统的建模过程可分为两个过程。首先是从工程实际出发，对实际结构系统作力学抽象。取出实际结构的力学内容，包括它的几何构形、运动与变形、载荷与内力，以及材料性能等，构造一个力学模型。这个过程是个重要的定性过程。然后是对构造力学模型进一步作数学的描述，根据力学原理给定各力学量之间的数量关系，建立起数学模型。这是个定量过程。建立有限元模型采用的是离散化概念。在第四章至第六章介绍了动力学有限元的基本理论和有限元特性矩阵的生成方法。在定性建模过程中，对构形进行离散化，将作为连续介质的结构系统进行网格划分，划分成有限元。在变形与受力分析的基础上确定有限元类型，选取节点并进行编号，生成结构系统的节点位移向量{x}，确定结构系统的自由度数。在定量建模过程中，首先对有限元的力学量场变量进行离散化，在力学分析或能量分析基础上确定有限元的特性，包括刚度特性、惯性特性，以及阻尼特性，生成有限元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵等特性矩阵。最后进行装配集成生成结构系统的数学模型，通俗的说法是将有限元特性矩阵按其节点编号对号入座来形成结构系统的特性矩阵，再根据力学原理推导出结构系统有限元模型的动力学基本方程，生成在位移空间内的数学模型，其基本形式是}{}]{[}]{[}]{[fxKxCxM=++(7.1)其中[K]是结构系统的刚度矩阵，[M]是其质量矩阵，[C]是其阻尼矩阵。7.1.2数学模型的分类对一个实际的工程结构，可以从不同角度进行数学描述，构造出不同形式的数学模型。结构系统的动力学现象是在时、空域内发生，它的描述是在一定的空间域和时间域内给出。选取不同的空间域和不同的时间域，将给出不同的数学模型。不同的数学模型描述的是同一个结构系统，所以，一般地说它们之间是可以互相变换的。结构系统的数学模型按所选取的位移空间来分类，可分为：（1）物理位移空间的数学模型结构动力学通常是采用位移向量作为基本自变量来描述结构系统特性的，称之为位移法。结构系统动力学基本方程（7.1）式是定义在有限元模型的节点位移{x}所在位移空间内。这个位移空间是由结构系统各个节点自由度上的实际位移基向量所张成的，它具有明确的物理意义，故又称之为物理位移空间（简称为位移空间）。所以，结构系统的有限元模型是物理位移空间的数学模型，由一个二阶常微分方程组给出。结构系统运动状态更完整的描述是状态向量。对于（7.1）式给出的二阶常微分方程组这类数学模型，其状态向量是由位移向量{x}和速度向量组成，它们构成为一个状态空间。这样的数学模型将是一阶常微分方程组，由它的初始状态向量和结构系统所受的作用可唯一地决定它的整个运动过}{x1程。这是物理状态空间的数学模型。（2）广义位移空间的数学模型结构系统的有限元模型往往是个很多自由度的系统，不便于进行结构动力学分析，需进一步进行降阶，降阶的基本原理之一是李茨法。李茨法是选取某些位移向量}{iϕ作为基向量，称之为李茨向量或李茨基，由它们张成为一个广义位移空间，称之为李茨空间，它是物理位移空间的一个子空间。物理位移向量{x}可在这李茨空间内近似取为∑==niiiqx1}{}{ϕ其中qi是对应于其向量}{iϕ的广义坐标。结构系统的位称向量用它的广义位移来描述，建立起的数学模型是广义位移空间的数学模型。可以选取不同的广义位移空间，构成不同的数学模型。这相应地也可生成广义状态空间。（3）模态位移空间的数学模型结构系统的振动特性是用模态参数，包括频率和振型向量（规一化的）来给出的。为突出其动力学特性，简化动力学分析，经常选用其振型向量作为基向量，在由它们张成的模态位移空间内进行分析。这样建立的数学模型是模态位移空间的数学模型。由于结构系统在模态空间中具有解耦性，它便于进行振动特性和动响应分析。结构系统数学模型按时间域的分类：（1）时间域的数学模型结构系统的动力学过程是在时间域内进行的，各种运动量都经历一个时间历程，是时间t的函数。结构系统的动力学基本方程（7.1）是时间t的函数，故它是时间域的数学模型。在这个基础上，结构系统的响应特性可用其脉冲响应函数组出，由它生成一个时间域的响应空间数学模型。（2）频率域的数学模型根据富里叶变换可从时间域转换到频率域，突出各种运动量的频率特性，使之成为频率的函数。结构系统的响应特性则可用基频率响应函数给出，生成结构系统的频率域响应空间数学模型。（3）拉氏域的数学模域更一般的变换是拉普位斯变换，它是从时间域转换到拉氏域，各个运动量是拉氏变量的函数。结构系统的响应特性用传递函数矩阵来描述，生成拉氏域的数学模型。结构系统的动力学行为发生在空间域和时间域内。结构系统在时间域和空间域内一般地说都是连续系统，这就是弹性动力学所分析的，它建立的数学模型是一组偏微分方程组（刚度方程）或积分方程组（柔度方程）。当在空间域内离散化后生成有限元模型，这是有限元法所讨论的内容，它建立的数学模型是一组常微分方程组。这是我们重点研究的内容。若进一步在时间内作积分变换（拉普拉斯变换或富里叶变换）或将时间域离散化，结构系统的数学模型是代数方程。对于粘弹性材料，它的本构关系给出的是渐记忆系统，它的数学模型将是积分微分方程。2§7.2无阻尼结构系统的动力学基本方程7.2.1无阻尼结构系统的有限元模型建立结构系统有限元模型的基本理论在第四章已作了介绍。它将连续系统在其位移空间内离散化，这也可看作为是一种降阶简化处理。通过选取形函数[N]，将位移场变量{u}离散为节点位移列阵{x}的插值函数，即在形函数为基量所张成一个子空间（函数空间）内展开为(7.2)}]{[}{xNu=从而使连续系统偏微分方程形式的数学模型变换为时间域内的常微分方程。无阻尼结构系统，从能量观点来看，其能量包含有应变能和动能。它的应变能作用量是∫∫∫=tVTtidVdtDedtU00}]{[}{21ε(7.3)由（7.2）式定义的位移函数{u}计算其应变，它等于}]{[}{xB=ε(7.4)将（7.4）式代入（7.3）式，得离散化结构系统的刚度矩阵∫=VTdVBDBK]][[][][(7.5)它的动能作用量是∫∫∫=tVTtdVdtxxTdt00}{}{21ρ(7.6)将（7.2）式代入（76）式，得离散化结构系统的质量矩阵∫=VTdVNNM][][][ρ(7.7)若结构系统上作用有分布外力{p}，它提供的外力功作用量是∫∫=tVTedVdtpuW0}{}{(7.8)则离散化结构系统的节点当量载荷是∫=VTdVpNf}{][}{(7.9)根据哈密尔登作用量变分原理推导出离散化结构系统的动力学基本方程}{}]{[}]{[fxKxM=+(7.10)这就是无阻尼结构系统的动力学基本方程。有限元法首先是在有限元级上进行分析，在有限元的节点位移列阵{xe}基础上选取形函数[Ne]。它在离散化结构系统的节点位移列阵{x}上的增广形函数设为][eN，则离散化结构系统的形函数是∑=eeNN][][(7.11)3将（7.11）式代入（7.5），（7.7）,（7.9）式给出结构系统特性矩阵的组装集成公式。7.2.2无阻尼结构系统自由振动基本方程及其解结构系统振动特性是系统在没有任何外界扰动和激励情况下，结构系统所固有的振动性质。分析结构系统振动特性的基本方程是无阻尼结构系统自由振动基本方程，这时{p}=0，也即{f}=0，由方程（7.10）t得到0}]{[}]{[=+xKxM(7.12)这是一组齐次常微分方程组，它的基本解是)exp(}{)exp(}{}{tjtxωϕλϕ==(7.13)代入方程（7.12）则得结构系统的特征方程0}]){[][(2=+ϕλKM或}]{[}]{[2ϕωϕMK=(7.14)它构成为一个广义特征值问题现对无阻尼结构系统的能量进行分析。它的应变能作用量（7.3）式在一个振动周期ωπ20=T内等于∫∫==0020}]{[}{2}]{[}{21TTTiKdtxKxdtUωπϕϕωπ(7.15)其中应变能量tKUTiωϕϕ2cos}]{[}{21=(7.16)它的动能作用量（7.6）式在一个振动周期内等于∫∫==0020}]{[}{2}]{[}{21TTTMdtxMxTdtωπϕϕπω(7.17)其中动能是tMTTωϕϕω22sin}]{[}{21=(7.18)无阻尼结构系统是保守系统。从（7.15）和（7.17）两式，得在一个振动周期内它的应变能作用量等于动能作用量，即∫=−000)(TidtTU(7.19)从（7.16）和（7.18）两式可以看出它的机械能（应变能与动能之和）是守恒的.constTUi=+(7.20)4即在振动过程的每一个瞬时它的机械能保持不变，能量没有损耗。§7.3无阻尼结构系统的固有振动特性7.3.1无阻尼结构系统动力学基本方程的特征解无阻尼结构系统振动的特征方程是（7.14）式定义的广义特征值问题，即0}]{[][(2=+ϕλKM或}]{[}]{[2ϕωϕMK=对于n个自由度的结构系统，它的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]都是n×n阶实对称矩阵。由于它的应变能是非负定的，Ui≥0，除在刚体位移无变形时等于零外，变形状态皆为正，故刚度矩阵是非负定的。由于它的动能是恒正的，T0，故质量矩阵是正定的。特征方程（7.14）式的特征解是特征值λi和特征向量}{iϕ，又称为特征对。它们满足特征方程0}]{}]{[2=+iiiMKϕλϕ(7.21)这是个齐次代数方程组，其解存在的条件是系数行列式等于零，即0|][|][|2=KMλ(7.22)这是个n阶行列式，它的展开式是λ2的n次代数方程式，由它解得n个特征值，即。由于刚度矩阵[K]的实、对称、非负定性和质量矩阵[M]的实、对称、正定性，它的特征根都是负实数，则可得nii,,2,1,2=λ2iλiijωλ±=(7.23)也就是说，特征值iλ是n对共轭虚根。这可用瑞利商公式来证明，当用特征向量前乘特征方程（7.21），所得的瑞利商就是相应的特征值，它恒小于等于零，即Ti}{ϕ0}]{[}{}]{[}{2≤−=iTiiTiiMKϕϕϕϕλ(7.24)这证明了特征值是负实数。2iλ再将（7.23）式代入它的基本解（7.13），得)exp(}{}{tjxiiωϕ±=(7.25)表明结构系统的基本振动规律是简谐振动，其振动频率为ωi，称之为固有频率。将特征值（7.23）代入特征方程（7.21）后，给出求解特征向量}{iϕ的线性代数方程组0}]){[][(2=+−iiKMϕω(7.26)每一个特征值对应有一组求解特征向量2iω}{iϕ的齐次线性代数方程组。由于它的齐次性，它的秩是小于它的方程数（自由度数），是个非满秩方程组。因此解不出特征向量的具体数值，只能得出确定到常数倍的相对值。这说明特征向量}{iϕ给出的是结构系统的振动形态，5而不是具体的振动量值，称之为固有振型。综上所述，特征方程解出了它的特征对，特征值确定结构系统振动的固有频率，特征向量确定结构系统振动的固有振型。这一对特征对，固有频率与固有振型确定了结构系统振动的固有特性（动特性），称之为固有模态参数。它们决定了结构系的振动特性，所以结构系统振动特性分析从数学上说是求解结构系统的广义特征值问题。7.3.2结构系统振动的固有模态特性在上一节里从解特征方程给出了结构系统的固有模态参数，固有频率ωi与固有振型}{iϕ。对于n个自由度的结构系统，共有n对模态参数。它们描述了结构系统的固有振动特性，所谓固有振动特性是指结构系统所固有的振动特性，它不受任何外界作用的影响，而且还不考虑阻尼的作用。这种固有模态具有如下特性：（1）固有频率的正实性和驻值性结构系统应变能的非负定性和动能的正定性，根据瑞利商的性质可知0}]{[}{}]{[}{})({2≥==iTiiTiiiMKRϕϕϕϕϕω说明固有频率具有正实性。再应用瑞利商变分原理给出固有频率的驻值条件为})({max})(