1.4充分条件与必要条件-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件

第一章集合与常用逻辑用语1.4.充分条件与必要条件我是河北人情景引入我是河北人充分的说明了我是中国人如果没有水，鱼儿就不能生存1.4.1充分条件与必要条件一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．思考•下列“若P，则Q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？•（１）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；•（２）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；•（３）若X2－４X＋３＝０，则X＝１；•（４）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．√√××若我是河北人，则我是中国人。•条件P：我是河北人结论Q：我是中国人探究一：充分条件真命题若我是河北人，则有充分的理由说明我是中国人一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，（“若p则q”为假命题记作p⇏q，并且说p是q的不充分条件）（1）平行四边形的对角线互相垂直，是这个平行四边形是菱形的（）条件（2）两个三角形的周长相等，是这两个三角形全等的（）条件练习充分不充分p⇒qp⇏q我是河北人，是我是中国人的充分条件。探究二：必要条件我是中国人，是我是河北人的什么条件？•条件P：我是中国人•结论Q：我是河北人我是中国人是我是河北人的必不可少条件我是中国人，是我是河北人的必要条件？一般地，“若p则q”为真命题，由p可推出q，记作p⇒q，并且说q是p的必要条件，（“若p则q”为假命题记作p⇏q，并且说q是p的不必要条件）若没有水则鱼儿不能生存，只有水鱼儿就能生存吗？水是鱼儿生存的必要条件鱼儿能生存⇒有水3a∥b是平面内两条直线a和b均垂直于直线l的（）条件4X＝１是X2－４X＋３＝０的（）条件练习：填“必要”“不必要”必要不必要若p⇒q，但q⇏p，称p是q的条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的条件.充分不必要必要不充分类型一充分条件、必要条件例1给出下列四组命题：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：ab，q：acbc.试分别指出p是q的什么条件．状元随笔判断p是q的什么条件，关键是看p能否推出q，q能否推出p.解题方法（充分条件与必要条件的判断方法）（1）定义法【解析】(1)∵两个三角形相似D两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qD⇒/p.∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．(4)∵pDq，且qDp，∴p是q的既不充分也不必要条件．方法归纳本例分别体现了定义法、集合法、等价法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题．要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.探要点·究所然探究点一充分条件、必要条件思考1结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解．答充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论．或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．必要条件可从命题等价性理解：p⇒q等价于非q⇒非p，q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件．4．若非A是B的充分不必要条件，则A是非B的________条件．解析：由题知，非A⇒B，则非B⇒A，反之不成立．答案：必要不充分[小试身手]1．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4，x2＋y2≥4D⇒/x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分不必要条件”．答案：A2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“acbc”是“ab”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“acbc”是“ab”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件解析：若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．答案：B思考2判断命题“若x＝1，则|x|＝1”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．答“x＝1”是“|x|＝1”的充分条件，“|x|＝1”是“x＝1”的必要条件．两个条件“x＝1”和“|x|＝1”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“|x|＝1”对应集合记作B.显然A⊆B.类型二充分条件、必要条件的应用例2是否存在实数p，使4x＋p0是x2－x－20的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．状元随笔把p与q之间的关系转化为集合之间的关系，根据集合间的关系求解．【解析】由x2－x－20解得x2或x－1，令A＝{x|x2或x－1}．由4x＋p0，得B＝x|x－p4.当B⊆A时，即－p4≤－1，即p≥4，此时x－p4≤－1⇒x2－x－20，∴当p≥4时，4x＋p0是x2－x－20的充分条件．方法归纳(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则AB.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．（2）集合法记法A={x|p(x)},B={x|q(x)}关系ABBAA=BA⊈B且B⊈A图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p,q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件例2已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？训练如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的___________条件.解析如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲.又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙丙.综上，有丙⇒乙⇒甲，甲丙，即丙是甲的充分不必要条件.充分不必要例4已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.小结充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论.(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.跟踪训练2已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．状元随笔解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)，得1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qDp.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，所以m0，1－m－2，1＋m≥10或m0，1－m≤－2，1＋m10，解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．答案：{m|m≥9}(或[9，＋∞))123453.“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的__________条件.解析根据方程得x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5，故“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的必要不充分条件.必要不充分3．“x2”是“x2－3x＋20”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A由x2－3x＋20得x2或x1，故选A.[小试身手]题型分析举一反三题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A∠B，q：BCAC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：ab＜1.【解析】(1)在△ABC中，显然有∠A∠B⇔BCAC，所以p是q的充分必要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，ab＞1；当b＞0时，ab＜1，故若a＜b，不一定有ab＜1；当a＞0，b＞0，ab＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，ab＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；解∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(2019·四川绵阳模拟)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥1B．a1C．a≥4D．a4答案D跟踪训练2(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是________．①ab＝0；②ab0；③a2＋b2＝0；④a2＋b20.解析a2＋b20，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b20.④当堂测·查疑缺12341.“x22013”是“x22012”的___________条件．5解析由于“x22013”时，一定有“x22012”，反之不成立，所以“x22013”是“x22012”的充分不必要条件．充分不必要设a∈R，则“a1”是“a21”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．答案[0,3]解析由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1＋m≤10，(1－m≥－2，)解得0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．