描述液体运动的两种方法及液体运动的基本概念

3流体动力学理论基础3.1描述液体运动的两种方法3.2流体运动的基本概念3.3恒定总流的连续性方程3.4恒定总流的能量方程3.5恒定总流的动量方程3.1.1拉格朗日法3.1描述液体运动的两种方法3.1.2欧拉法3.1.1拉格朗日法3.1描述液体运动的两种方法液体运动有两个特征。一个是“多”，即液体是由众多质点组成的连续介质；另一个是“不同”，即不同液体质点的运动规律各不相同。因此，液体运动的描述方法与理论力学中刚体运动的描述方法就不可能相同。那么，这就给液体运动的描述带来了困难。怎样描述整个液体的运动规律呢？拉格朗日法:质点系法以液体质点作为研究对象，跟踪所有质点，描述其运动过程，即可获得整个液体运动的规律。图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM设某一液体质点在t=t0占据起始坐标（a，b，c）（a，b，c，t0）图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tMt0：质点占据起始坐标：（a，b，c）t：质点运动到空间坐标：（x，y，z）（a，b，c，t0）（x，y，z，t）图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM跟踪这个液体质点，得到其运动规律为),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪这个液体质点，就可得到另一个液体质点的运动规律。图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM这样就得到液体整体的运动规律。反复改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪不同液体质点，就可得到不同液体质点的运动规律，图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM现在看看数学上怎么能做到这一点。（a，b，c，t）=拉格朗日变数),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM（a，b，c）对应液体微团或液体质点起始坐标图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM给定（a，b，c），该质点轨迹方程不同（a，b，c），不同质点轨迹方程),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx图3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM因此，用这个公式就可描述液体所有液体质点的运动轨迹。),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayytcbaxx上式对t求导，得到液体质点的速度xyzxabctutxxabctyabctyyabctuttzzabctzabctutd(,,,)d(,,,)dd(,,,)(,,,)dd(,,,)d(,,,)dxyzxxyyzxabctutxx(abct)yabctyy(abct)utdtzz(abct)zabctutxabctxabctauttyabctyabuattzabctut222d(,,,)d,,,dd(,,,),,,d,,,d(,,,)dd(,,,)d(,,,)dddd(,,,)d(,ddd(,,,)dzcttzabctat222,,)dd(,,,)d速度对t求导，得到液体质点的加速度222222),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(dttcbazdadttcbaydadttcbaxdadttcbadzudttcbadyudttcbadxudtddttcbadzudttcbadyudttcbadxutcbazztcbayytcbaxxdtdzyxzyxzyx222222dttcbazdadttcbaydadttcbaxdadttcbadzudttcbadyudttcbadxutcbazztcbayytcbaxxzyxzyx),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(因此，用这些方程就能描述所有液体质点的运动（轨迹、速度和加速度），也就知道了液体整体的运动。问题1.每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点数学上存在难以克服的困难实用上不需要知道每个质点的运动情况pointsfluidlimited),,(),,,(),,,(),,,(cbatcbazztcbayytcbaxx问题1.每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点2.数学上存在难以克服的困难3.实用上不需要知道每个质点的运动情况pointsfluidlimited),,(),,,(),,,(),,,(cbatcbazztcbayytcbaxx问题1.每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点2.数学上存在难以克服的困难3.实用上不需要知道每个质点的运动情况pointsfluidlimited),,(),,,(),,,(),,,(cbatcbazztcbayytcbaxx问题1.每个液体质点的运动规律都不同，很难跟踪足够多质点。2.数学上存在难以克服的困难。3.实用上不需要知道每个质点运动情况，只需要知道关键之处。pointsfluidlimited),,(),,,(),,,(),,,(cbatcbazztcbayytcbaxx质点太多→作不到！数学上困难→作不到！实用上→不必要！一般不用这个方法描述液体的运动，但对于一些特殊问题，要用这个方法，如波浪运动、PIV测速等。3.1.1拉格朗日法3.1描述液体运动的两种方法3.1.2欧拉法3.1.3用欧拉法表达加速度欧拉法：流场法核心是研究运动要素的空间分布场设一些固定空间点，其坐标为（x,y,z)。xz空间固定点O考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况，以此了解整个流动在空间的分布。xz空间固定点O考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况。这句话包含两层意思：xz空间固定点O“考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况”这句话，包含两层意思：1.研究同一时刻t1、不同固定点（x，y，z）上液体质点的运动，将各固定点的运动信息综合，了解该时刻流场。xz空间固定点Ot1时刻“考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况”这句话，包含两层意思：2.研究不同时刻的流场，得到不同时刻的流场，如图所示。再将各时刻流场叠加，就可知道各所有固定点在不同时刻、不同质点通过时的流动参数，也就知道了流动中各质点的运动轨迹。xz空间固定点Ot2，t3，t4…欧拉法：相当于在流场中设置许多固定观察点（x，y，z），对于液体运动的分析可分为（1）流场（2）流场随时间变化通过（1）和（2）综合，可得液体运动的信息。欧拉法把任何一个运动要素表示为空间坐标（x，y，z）和时间t的函数。液体质点在t时刻，通过任意空间固定点(x,y,z)时的流速为ttzyxzuttzyxyuttzyxxuzyxd),,,(dd),,,(dd),,,(d式中，(x,y,z,t):欧拉变数(uxuyuz):通过固定点的流速分量(a,b,c):质点起始坐标t:任意时刻(x,y,z):质点运动的位置坐标(a,b,c,t):拉格朗日变数(x,y,z):空间固定点（不动）t:任意时刻(x,y,z,t):欧拉变数拉格朗日法欧拉法(a,b,c):质点起始坐标t:任意时刻任意时刻(x,y,z):质点运动轨迹坐标空间固定点（不动）拉格朗日法欧拉法t=t0＝给定时刻，（x，y，z）＝变数同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分布，即流场。欧拉法（x，y，z）＝给定点，t＝变数不同液体质点通过给定空间点的流速变化，流场随时间的变化。欧拉法液体质点通过任意空间坐标时的加流速式中，(ax,ay,az)为通过空间点的加速度分量ttzyxuattzyxuattzyxuazzyyxxd),,,(dd),,,(dd),,,(d应用欧拉法研究液体运动的例子地面卫星观测站河流上的水文站任一物理量,如压强、密度，用欧拉法表示为),,,(),,,(tzyxtzyxpp一维流动，则从欧拉法来看，同一时刻不同空间位置上的流速可以不同；同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分为迁移加速度（位变加速度）当地加速度（时变加速度）迁移加速度（位变加速度）同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度。当地加速度（时变加速度）同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度图当地加速度（时变加速度）说明t0tu0ut水面不断下降！t0),,,(ttzyxux图迁移加速度（位变加速度）说明u2u1水面保持恒定x0),,,(xtzyxuuxx落地流速方向和大小随时间变化t0t2t1u0u1u2u2u1u0孔口出口流速大小随时间变化同一时刻，沿射流抛射轨迹上，不同位置处流速不同。因此，沿抛射轨迹有位变加速度。t0u0u1u20suuss利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间t的函数，则zuuyuuxuutut)t,z,y,x(uazuuyuuxuutut)t,z,y,x(uazuuyuuxuutut)t,z,y,x(uazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxdddddd从数学上分析，利用复合函数求导的方法，将（x,y,z）看成是时间t的函数，则有加速度分量的表达式zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),,,(dd),,,(dd),,,(d＝zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),,,(dd),,,(dd),,,(d＝时变加速度分量（三项）位变加速度分量（九项）suututtsuasssssd),(d对于一维流动u(s,t)，加速度可简化为su(s,t)3.2.1恒定流与非恒定流3.2流体运动的基本概念3.2.2迹线与流线3.2.4流管、流束、总流、过流断面3.2.3一元流、二元流、三元流3.2.5均匀流与非均匀流3.2.1恒定流和非恒定流3.2.1.1恒定流任何运动要素不随时间发生变化的流动，即所有运动要素对时间的偏导数恒等于零。0...ttptututuzyx运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素之一对时间的偏导数不为零。0,...),,,,(ttptututuzyx3.2.1.2非恒定流河道中水位和流量的变化洪水期中水位、流量有涨落现象－非恒定流平水期中水位、流量相对变化不大－恒定流水静力学就是恒定流xzzhz0mp0容器中液体当容器中液体处于相对平衡－恒定流。当容器旋转角速度改变，容器中液体就是变速运动－非恒定流。Ozgω2rfω2yωxyROfω2xryxθ大海中潮起潮落现象－非恒定流闸门迅速开启时引起的非恒定流闸门突然关闭时，管道中水流的运动随时间变化3.2.2迹线和流线3.2.2.1迹线液体