连续介质力学复习题a20121210

连续介质力学复习题（1）1.10，1.19答：0012012222m32()()()()11()|1211()121(1)(2)M(x)k1=x=constDC(1)(2)2-2m=0.m=1.mxxmmmxmmmMxxkDdxkdkCxmmkCxxmmkCxmmmm令D(x)=CxCx所以：（2）2.13，考察一个被约束在圆形轨道上作匀速运动的质点。设v是任意时刻的速度，质点的加速度是多少，即力量dv/dt是多少？2.19，两个矢量123u=,,uuu（）和123v=,,vvv（）的矢量积是矢量w=uv，其分量为证明上式可以简写为=iijkjkuv证明：反证法：有=iijkjkuv所以有11=jkjkuv22=jkjkuv33=jkjkuv1111111121211313123231212113232122221313113333=++++++++uvuvuvuvuvuvuvuvuv22111121212213122212122222223232313123232233333311113121231313321213222232323331313323233333=++++++++=++++++++uvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuv由此得出：123322311331221=-=-=-uvuvuvuvuvuv2.37将下列方程写出展开的形式2,,21()12iikkkkiiuGuuXvt答：222221(+*)+=1-2ikiikkiuuuGXxvxxt=1当i时。222222231111211222212311213122222221222222222222221+++*++)+=1-21v+++*++)+=1-2i=2,31v+++*++1-2uuuuuuuGXxxxvxxxxxxtuuuuuwGXxyzvxyxzxtuvvvGxyzvxyx（（）（（）同理有（（22222222222322222)+=1v+++*++)+=1-2wvXzxtu）（（）（3）3.9，在无体力情况下，如下应力分布是否处于平衡状态：答：根据0ijijXx得到处于平衡状态。即++=0yxxzxxyz，++=0yxyzyyxz，++=0yzxzzzzy又因：。。。。。。。。。3.22库埃特流动。两个同心圆筒间的空间中充满了流体，如图P3.22。令内筒静止，外筒以每秒w弧度的角速度旋转。若测得内筒的扭矩为T，作用在外筒的扭矩是多少？为什么？答：22212121122120;();011()0101=;,(,);rzzrvvvrvvvrvrrrzdvdvvdrrdrrvrvrBvArABrrrBBrArrArrr速度场：不可压缩流体连续方程：不计体力，并按抽对称旋转进行计算，环向运动方程为：易证明，均满足以上方程所以其一般解为为常数设，为内外筒的半径；，为内外筒的半径则：22222211211222222121222222112112222221212222221121122221222121222211212();()111[()()]2()1=()=0===0rrrrABrrrrrrrrvrrrrrrrrrrrrrrvrrdrdrrrrr壁面剪应力为当，或，时，单位长22221222142TrrMrrr度扭矩为：常数所以内外筒扭矩相等。为。（4）4.12用锤子打击一个无限大的弹性体，应该设置什么样的边界条件？答：（5）分别推导拉格朗日应变张量和欧拉应变张量,答：变形前物体中有三个相邻点p、p’、p”。变形后他们移到Q、Q’、Q”点。考察连接点123(a,a,a)p和相邻点112233'(a+da,a+da,a+da)p的无限小线元。初始构形中线元pp’长度ds。的平方222201232222123222201232222123220;;,iiijijjjjiijijijlmlmiiijijijlmlmijijiijdsdadadadsdxdxdxxadxdadadxxxaadsdadadadadadxdxxxxxdsdxdxdxdxdxdadaaaxxdsdsdadadadaaa220()()1()21()2jijijijijijijijijijijijijijijijijxxdadaaaORaaaadsdsdxdxdxdxdxdxxxxxxxEaaaaexx5.2血管是不可压缩的，即其体积不会变化。在通常情况下，血管可以看作一个圆柱壳。假设因某种原因人的血压上升了，使该血管的内径由a增加至a+da，而轴向长度不变。试计算因血压升高引起的血管内环向和径向应变的变化。解：设血管外径为b，血压上升后外径'=+bbbr222222222222rrb-)=(+)-(+)+2*-2*-=0-2b+4+4(2*+)==-++2*+2e=-=--++2*+=0=r11e=+-)=02r1=+=rrrabbaabbbaaabaaabbbaaabababaaarraerra则有：（血管为圆形截面根据对称性，，（）（5.9答：答：（a）11;02lnruurra（b）1;0uvxy（c）1cos;sinnnruAnrnuAnrnr（d）2cossin;ruurrr（a）答：1()21;;()2jiijijxxyyxyuuexxuvuveeexyyx（b）2222222222221;;()21()2yyxyxxxyyyxxeeeuvuvyxyxxyxyxyxyeeexyyx（c）将已知（c）中的式子代入（b）中得：22222'2222220b2-2k=2k'k'=-kxxyyxyyyxyxxekyexekxyeeeyxxy由（）中知若要协调则有即即则应变系是协调的(7)给出牛顿流体和非牛顿流体的本构方程答：牛顿流体本构方程ijijijklklpDV（粘性效应与变形率呈线性关系）各向同性时，()2ijklijklikjliljkijijkkijijDpVV平均正应力1/3kk与体积膨胀率kkv无关2=-+2-3ijijijkkijpuvv不可压=-+2ijijijpuv非牛顿流体本构方程7.14航天员上了月球，并带回一些岩石样本。我们很关心这些岩石的力学性能。试设计一个实验大纲，以便用这些少量的岩石得到尽可能多的信息。答：硬度：刻痕抗拉：a，制成标准试件受拉b，劈裂抗压：a，单轴抗压圆柱形试件半径4.8--5.2cm，H=（2--3）倍半径长方体试件：变长L=4.8--5.2cm，H=（2--2.5）L抗剪：单面剪切、双面剪切、冲击剪切弹性模量E，剪切模量G,破送比u:标准试件作应力应变曲线，观察曲线特征刚度试验机F应力应变曲线（8）8.1区别均匀和各向同性两个词（a）如果你涉及高空探测火箭，你是否认为大气是均匀的或各向同性的？（b）如果问题涉及围绕火箭邻区域的流动，该火箭以不产生激波的速度飞行，能否把空气处理为均匀的或各向同性的？（c）如果在（b）问题中发生了激波，又该怎样考虑？答：均匀性是指某种物理特性在空间各点测量结果相同，可以看作平移对称性，各向同性是指力学性质和方向无关的，可以看作空间转动对称性例如流动的河水是均匀的，但不是各向同性的（a）不考虑紧邻区域流动，火箭速度不产生激波，则可处理为均匀，各相同性。（b）考虑紧邻区域流动，不产生激波速度飞行，可处理为均匀，各向异性。（c）考虑紧邻区域流动，产生激波速度飞行，不均匀，各向异性。8.5,说出三种非各向同性的液体答：（纤维油漆、牛奶、血液、液晶）8.15，在有些组受拉、其余组分受压而整体处于平衡的复合材料中，残余应力是改进力学性质的很好途径。例如，预应力钢筋增强的混凝土，高强纤维增强的金属和塑料都是改进的结构材料。若希望实现复合材料的各向同性或横观各向同性（在远大于单根纤维直径的尺度上），纤维应按合乎需要的几何图形来铺设。试设计一种以高强度和各向同性为目的的复合材料。答：(1)模压板材复合材料，将浸有树脂的随机短纤维模压、固化制成复合材料。由于短纤维的方向随机，因此是横观各向同性。（2）m叠层板（m=3、4、5.。。）。由复合材料力学知，满足2-2(sin2,cos2,sin4,cos4)=0hhdz的叠层板是准各向同性叠层板。而m叠层板满足上式。（9）9.8考虑具有麦克斯韦模型、有方程（9-6-1）描述的粘弹性材料。把一个正弦变化的力sinFat加到物体上。其稳态扰度u是什么？答：02222sin;;cossin()sincossincos[sin()][sin()sin]()()()()tFatFFuawwtawtudtaaauwtwtwwawaaawuwtwtwtAuwtwawaawa其中1/222A=()+(),tan=aww（10）导出雷诺系数，说明雷诺系数的意义，解释为什么雷诺系数很大时，需要边界层理论；答：雷诺数表示惯性力与剪应力的比值惯性力量级：2v剪应力量级：vL2==/NVvLRvL惯性力剪应力大雷诺数表示惯性力效应占优势，小雷诺数表示剪切效应占优势.''2'''1=-+(=1,2,3)iiiNDupVuiDtxRRN时，除非二阶导数2'1uV极大，否则最后一项总可以略去。在速度及其导数为有限值的一般流场中，当Re趋于无限时，粘性效应即不存在。然而，由于无滑移条件的关系，在固体壁附近，速度会发生迅速变化，有自由由流速变为固体速度。如果此转变层很薄，即使雷诺系数很大，也不能忽略最后一项。即在边界层内，即使雷诺数非常大，粘性影响亦是很明显的那个流体区域。量级分析1=0()NReLR。雷诺数控制了流体的动力相似性，表征了流体的流动状态。雷诺数代表惯性力和粘性力（剪切力相关）的比值。雷诺数小时，粘性力占主导地位；雷诺数大时，惯性力占优势。当其很大时，粘性效应消失，但是由于固体表面无滑移条件，边界层的粘性效应还是存在，需要考虑。（11）11.11如果空气真是无粘性的，飞机能够飞行吗？鸟和昆虫能飞行吗？为什么？答：飞机能飞，机翼上下空气流动速度不一样，上面流动得快，下面流动得慢，使机翼上下面产生向上压力差，给飞机上升的力，所以飞机能飞鸟和昆虫不能飞，鸟和昆虫的飞行是扇动翅膀依靠空气给翅膀的反作用力飞行，如果空气没有粘性，就无法提供这个反作用力，所以鸟和昆虫不能飞行(12)写出均匀各向同性弹性体的基本方程,边界条件答：1()2()02jikkijijijjiijjiiijjiiijiijijkkijijuuuuex