代数几何综合题(含答案)

1/18代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）()x0，连结BP，过P点作PCPB交过点A的直线a于点C（2，y）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。解：（1）PCPBBOPO,CPAOPBPBOOPBCPAPBO9090,A（2，0），C（2，y）在直线a上BOPPAC90BOPPAC~POACBOPA，||||||xyx22，xyxyx0022，，yxx122（2）x0，x的最大整数值为1,当x1时，y32，CA32yBaOQAPxC2/18BOaBOQCAQOQAQBOCA//~,，设Q点坐标为()m，0，则AQm2mmm223287，Q点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。练习1．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；（3分）(2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3分）(3)若AO＋CD＝11，求AB的长。（4分）ABCDO3/182．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O的两根，且x10x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.4/183．一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。①如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；②在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线2yxbxc上，求b，c的值；若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l的解析式。4、（2005年绍兴）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。①求直线AC的解析式；②若M为AC与BO的交点，点M在抛物线285yxkx上，求k的值；③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由。5/185．已知：在矩形ABCD中，AB=2，E为BC边上的一点，沿直线DE将矩形折叠，使C点落在AB边上的C点处。过C′作C′H⊥DC，C′H分别交DE、DC于点G、H，连结CG、CC′，CC′交GE于点F。（1）求证：四边形CGC′’E为菱形；（2）设xCDEsin，并设DEDGECy'，试将y表示成x的函数；（3）当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC的长能力训练1、已知抛物线)0(22mmxxy与y轴的交于C点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′。（1）求抛物线的对称轴及C、C′的坐标（可用含m的代数式表示）；（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P的坐标（可用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。FGHC'DABCE6/182、如图，抛物线)0(2acbxaxy与x轴、y轴分别相交于A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．注：抛物线)0(2acbxaxy的顶点坐标为abacab44,22．（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．ABDCoxy7/183、如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合）设PC=x，点P到AB的距离为y。（1）求y与x的函数关系式；（2）试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围。4、如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点(点E与点A，D不重合)．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?ABCP8/185、如图，在直角坐标系中，点M在y轴的正半轴上，⊙M与x轴交于A，B两点，AD是⊙M的直径，过点D作⊙M的切线，交x轴于点C.已知点A的坐标为（－3，0），点C的坐标为（5，0）.（1）求点B的坐标和CD的长；（2）过点D作DE∥BA，交⊙M于点E，连结AE，求AE的长.xEDCBAMyO6．如图，已知：AB是定圆的直径，O是圆心，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，交AB于C，PC=5。PT是⊙O的切线(T为切点)。9/18(1)当CE正好是⊙O的半径时，PT=3，求⊙O的半径；(2)当C点与A点重合时，求CT的长；(3)设PT2=y，AC=x，写出y关于x的函数关系式，并确定x的取值范围。TPOECBA10/18答案：练习1、（1）连结BC交OA于点E略（2）∵CD∥AO，∴∠3＝∠4.∵AB是⊙O的切线，DB是直径，∴∠BCD＝∠ABO＝90°∴△BDC∽△AOB.∴BDDCAOOB＝∴6xy3＝∴18yx＝∴0＜x＜6（3）由已知和（2）知xy11xy18＋＝＝解这个方程组得：1212x2x9y9y2＝＝（舍去）＝＝∴AB＝11/1822937262－＝＝.2．解：(1)由题意，得22-4(m-3)=16-m0①x1x2=m-3O．②①得m4．解②得m3．所以m的取值范围是m3．(2)由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°.所以BC=2BO，AB=2BC=4BO．所以A0=3BO(4分)从而得x1=-3x2．③又因为x1+x2=-2．④联合③、④解得x1=-3，x2=1．代入x1·x2=m-3，得m=O．(3)过D作DF⊥轴于F．从(2)可得到A、B两点坐标为A(-3，O)、B(1，O)．所以BC=2，AB=4，OC=3因为△DAB≌△CBA，所以DF=CO=3，AF=B0=1，OF=A0-AF=2．所以点D的坐标为(-2，3)．直线AD的函数解析式为y=3x=3312/183．13/184、14/185．（1）根据题意，C、C′两点关于直线DE成轴对称，DE是线段CC′的垂直平分线，故DC＝DC′，GC＝EC′，∠C′EG＝∠CEG由C′H⊥DC，BC⊥DC得：C′G∥CE，∴∠C′GE＝∠GEC，∵∠C′EG＝∠CEG，∴∠C′GE＝∠C′EG，∴C′G＝C′E，∴C′G＝C′E＝EC＝GC，∴四边形CGCE为菱形（2）解法一：由题意知：在△RtDCE中，sin∠CDE＝DECE＝x由（1）得：CC′⊥CE，又DC⊥CE，∴Rt△C′EF∽Rt△DEC′，∴''ECEFDEEC，即EFDEEC2'∴222222121,)('xDEEFDEGEDEDEDGxDECEDEECDEEF∴221''xxDEDGDEECDEDGEC，即122xxy解法二：设DE＝a，由sin∠CDE=DECE=x，则CE=ax，又DC⊥CE，CF⊥DE，∴△DCE∽△CFE∴2)(22CEEF,axDECEDEFECEaaxFGHC'DABCE15/18DG＝DE-2EF＝a-2ax2，∴22212'xxaaxaaxDEDGCEDEDGEC∴y=-2x2+x+1（3）由（2）得：y=-2x2+x+1＝89)41(22x可见，当x=41时，此函数的图象达到最高点，此时87811212xDEDG∵GH∥CE，∴87DEDGDCDH，由DH＝2，得DG＝47在Rt△DHC′中41516494''22DHDCHC∴BC＝415能力训练1、（1）所求对称轴为直线x＝1C（0，-m）C′（2，-m）（2）满足条件的P、Q坐标为P（-1，3-m），Q（1，3-m）；P′（3，3-m）。Q（1，3—m）；P″（1，-1-m），Q′（1,1-m）。（3）所求平行四边形周长为1024或24。2、解：（1）322xxy（2）由（1）可知4)1(2xy∴顶点坐标为D（1,4），设其对称轴与x轴的交点为E∵OCAOSAOC21312123OEDEDCSOEDC21梯形143212716/18DEEBSDEB2142214DEBOEDCAOCABDCSSSS梯形四边形427239（3）△DCB与△AOC相似证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F∵D（1,4），∴Rt△DFC中，DC＝2，且∠DCF＝45°在Rt△BOC中，∠OCB＝45°，BC＝23∴∠AOC＝∠DCB＝90°12COBCAODC∴△DCB∽△AOC3、（1）过P作PQ⊥AB于Q，则PQ=y，312(04)55yxx（2）令x≤y，得：31255xx，解得：32x∴当302x时，圆P与AB所在直线相离；32x时，圆P与AB所在直线相切；342x时，圆P与AB所在直线相交4．解：(1)连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得MB=ME，MN⊥BE．过N作AB的垂线交AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，∴∠MBP=∠MNF．又AB=FN，∴RT△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，∴(2-AM)2=x2+AM2．17/18解得AM=2411x所以四边形ADNM的面积2212221224122AMDNAMAFSADAMAExxxx即所求关系式为2212xxs.(2)22211515221122222Sxxxxx.∴当AE=x=1时，四边形ADNM的面积s的值最大。最大值是25.5．解：（1）∵MO⊥AB，∴OA＝OB.∵A点坐标为（－3，0），∴B点坐标为（3，0）.∵CD是⊙O的切线，∴CD2＝CB·CA＝2×8＝16.∴CD＝4.（3）∵AD是直径，∴DB⊥AB，∴BD＝DC2－BC2＝42－22＝23.∵DE∥BA，∴AE⌒＝DB⌒.∴AD＝DB,∴AE＝23.6．ABCDEMxyO8－5图18/18