2-4--时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的关系

第2章时域离散信号和系统的频域分析2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的关系非周期模拟信号xa(t)的傅里叶变换对()()1()()2jtaajtaaXjxtedtxtXjed这里t与Ω的域均在±∞之间。先作一概括：连续的连续的第2章时域离散信号和系统的频域分析ˆ()()()aanxtxnTtnT连续信号和采样信号之间的关系：ˆ()axt()axt1ˆ()()aaskXjXjjkT(1.5.5)是频谱的延拓，周期为Ωs()axt连续的为采样角频率T2S连续信号的FT和采样信号的FT之间的关系：()axtˆ()axt第2章时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号x(n)，或称序列x(n)设：x(n)=xa(nT)n取整数x(n)的傅里叶变换对为：()()1()()2jjnnjjnXexnexnXeed连续的以2π为周期离散的第2章时域离散信号和系统的频域分析周期序列的DFS变换对()xn210201()[()]()1()[()]()NjknNnkknNNjXkDFSxnxnexnIDFSkXeXkN2())(2()jkXeXkNkN离散的，是序列以N为周期离散的以N为周期离散的，是一系列冲激以2π为周期周期序列的FT()xn第2章时域离散信号和系统的频域分析模拟信号的频谱采样信号的频谱序列的频谱第一章曾提到：ˆ()axnT()xn()axt各不相同，但有联系第2章时域离散信号和系统的频域分析()()1ˆ()()()()(ˆ()()())())(()asakjtjtjtanjnTjTanaanjnjnaTxnxnTXjjkXjTedtedtxnTtnTedtxnTeXxexneXtxnTtTen以时域形式的对比进行推导：ˆ()()()anaxtxnTtnT对于采样信号2,sTT第2章时域离散信号和系统的频域分析以时域形式的对比进行推导：()2[())((1)]jnjankFTxnxneXeXjjkTTT第2章时域离散信号和系统的频域分析以频域形式的对比进行推导：将t=nT代入1()()2jaatxXjedt1()()2janTaxXjnedT将Ω轴划分成无限多个积分区间，每个积分区间为2T1()()2njjxXedne对比第2章时域离散信号和系统的频域分析以频域形式的对比进行推导：221()()21()2jaakjnTTTTakkTTnxnTXjedXjed为使积分上下限相对应，令2kT则：积分上限为22kkTTT积分下限为22kkTTT第2章时域离散信号和系统的频域分析2()21112()()212()212()2jknTTTaakTjnTjknTakTjnTTakTTTddTTxnTXjjkedTXjjkeedTXjjkedT-j2kn写成当k、n取整数时e时，时，12()12jaknedXjjkTTT对比频域表达式：(2))(1jnjXdexne比较，当x(n)=xa(nT)时第2章时域离散信号和系统的频域分析经比较而得：12()()jakXeXjjkTTT(2.4.3)此即:序列的傅里叶变换X(ejω)与模拟信号xa(t)的傅里叶变换Xa(jΩ)之间的关系式。1ˆ()()akXjXjjkasT(1.5.5)比较：频率轴为ω频率轴为Ω采样信号的FT模拟信号xa(t)的FT第2章时域离散信号和系统的频域分析序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系一样，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系为ω=ΩT。结论：()12()ajkjjkTTTXeX)1(()ˆsaakjjXkjXT(2.4.3)(1.5.5)重写：第2章时域离散信号和系统的频域分析频率归一化转换关系：ω=ΩT、Ωs=2π/T例如：ω=2π时Ω=ω/T=2π/T=Ωsf=Ω/2π=1/T=Fs第2章时域离散信号和系统的频域分析频率归一化其定标值对应关系用图2fffss第2章时域离散信号和系统的频域分析模拟折叠频率Fs/2对应的数字频率为π如需满足采样定理，则要求模拟最高频率fc不能超过Fs/2如不满足采样定理，则会在ω=π附近，或者f=0.5Fs附近引起频率混叠。第2章时域离散信号和系统的频域分析例2.4.1设xa(t)=Cos(2πf0t)，f0=50Hz，以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)、、x(n)的傅里叶变换。ˆ()axt0002200()[()(][(2)2)12(2)]jftjfjtaajttXjFTxtedteCosftdteffe(2.4.8)解：模拟信号xa(t)的FT：ˆ()axt按定义式(2.3.8)第2章时域离散信号和系统的频域分析0ˆ()()()(2)()aannxtxnTtnTCosfnTtnT001ˆˆ()[()]()(2)(2)saaaskksXjFTxtXjjkTffTkk采样信号的FT：ˆ()axt00()[(2)(2)]aXjff即已求得模拟信号的频谱：第2章时域离散信号和系统的频域分析采样序列x(n)的FT：将代入()aXj2,STT0()()cos(2)axnxnTfnT00ˆ()(2)(2)ssakXjkTkff对已求得采样信号的频谱：00001()()22(2)(2)(22)(22)(2)(2)222jakksssskkTTTXeXjjkTkfkfTTTTTfkfffkffTkk022502002sff以2π为周期第2章时域离散信号和系统的频域分析Xa(jΩ)0Ω0－Ωs2s2sΩs……TΩXa(jΩ)＾0……¦Ø22（a）（b）（c）X(ejω)π0π2f0π2f0π2f0π2fππππ2π2()(2)(2)22jkXekkT此时的幅值中的T，对于序列x(n)，将不再考虑采样间隔的大小，实际上隐含了T=1的假设。