小波理论

小波变换一、小波变换的基本原理及性质1、小波是什么？小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。2、小波的“容许”条件用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足3、信号的信息表示时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）。频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT。时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法)()(xdC2)(0)()0(dxx平稳信号非平稳信号不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号。信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义。时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析。4、为什么选择小波小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势。),,,;,,,(),,,;,,,(21212121nnnntttxxxftttxxxf)(),()()(),()()(2122121txEttRtxtxEttRmdxxxftxExxx时间幅度小波变换时间尺度5、小波变换的定义：小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时，小波变换具有对信号的自适应性，也是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。6、小波变换原理小波变换的含义是把某一被称为基本小波（motherwavelet）的函数作位移τ后，再在不同尺度α下，与待分析信号X(t)左内积，即式中，α0，称为尺度因子，其作用是对基本小波Φ（t）函数作伸缩，τ反映位移，其值可正可负，α和τ都是连续变量，故又称为连续小波变换（continuewavelettransform，简称CWT）。在不同尺度下小波的持续时间随值的加大而增宽，幅度则与a反比减少，但波的形式保持不变。上式等效的频域表示为：傅里叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移和尺度伸缩得来的。小波分析优于傅里叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领域。可以这样；理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信号f（t），Φ（t）代表镜头所起的变化，b相当于使镜头相对于目标平行移动（代表时域的变化），a的作用相当于镜头向目标推进或远离（代表频域的变化）。由此可见，小波变换有以下特点：多尺度/多分辨率的特点，可以由粗及细地处理信号。可以看成用基本频率特性为的带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波。适当地选择小波，使ψ（t）在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中，就可以使WT在时、频域都具有表证信号局部特征的能力。7、连续小波变换（CWT）连续小波变换的定义：可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数RbabadtttxttxbaCWTf)()()(),(),(*,,dtabtatxdtttxttxbaCWTfRRbaba)()()()()(),(),(21,,伸缩因子对小波的作用平移因子对小波的作用平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近连续小波变换实现的过程：1.首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它与信号的初始段进行比较；2.通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度下的小波与所对应的信号段的相似程度）；3.改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个步骤完成一次分析；增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析；02468-101sin(t)---a=102468-101sin(2t)---a=1/2幅度A02468-101sin(4t)---a=1/4时间t-10-50510-101morlet---a=1-10-50510-101morlet---a=1/2-10-50510-101morlet---a=1/4信号小波信号小波4.循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。连续小波变换的性质：叠加性（线性）、时移不变性、尺度特性、微分特性、内积定理、能量守恒特性、冗余性。连续小波逆变换如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波的逆变换是存在的8、离散小波变换（DWT）定义：对尺度参数按幂级数机进行处理，对时间进行均匀离散取值（要求采样满足拟尼奎斯特采样定理）dtdaatbaCWTfCtxba02,1)(),(1)(dtdaaabtabaCWTfC22101)(),(1RmmnmdtnttxttxnmDWTx)2()(2)(),(),(2,离散小波变换的可逆问题—框架理论DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达式能够完整的表达待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了；如果对于所有的待分析信号满足框架理论条件，那么DWT就是可逆的二、小波的快速算法——Mallat算法正交小波变换与多分辨分析对于小波基函数为，如果函数族构成L2(R)内的正交基，就称小波为正交小波，在正交小波基础上进行的小波变换称为正交小波变换，只有满足正交小波变换才可称为多分辨分析，正交小波变换是完全没有冗余的，非诚适合做数据压缩。在多分辨分析的讨论中，可以看出正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器，自然的高通滤波器输出对应的信号的高频分量部分，称为细节分量，低通滤波器输出对应的信号的相对较低频率分量部分，称为近似分量。对应的快算算法称为Mallat算法。滤波分解算法带来一个新的问题，就是针对离散的数据序列，经过滤波分解RBAtxBttxtxAnmnm,)()(),()(22,,2ZnnmnmtCtx)()(,,)(tZkjkttjjkj,)()(/,222会得到多于原数据点数的数据序列。比如，原数据序列有1000个采样点，经过滤波分解后，会得到1000点的近似分量序列和1000点的细节分量序列，这样就得到了2000个采样点数据，在小波变换Mallat算法实现中，可以利用降采样的方法即在输出两点中只取一个数据点，这样产生两个为原信号数据长度一半的序列，简单记为cA个cD，虽然近似分量和细节分量的数据长度仅为原信号序列的一半，但是却完整的包含的原信号的信息内容。Mallat算法的降采样小波分解树到此我们已经知道离散小波是怎么样分析或怎样分解成一个信号，这个过程通常也成为分解分析，那么自然想到另外一个对应的问题就是如何将这些分解得到分量能够整合到一起恢复原信号并且没有任何的信息损失，这一过程就称为小波重构或者小波合成，实质上就是逆离散小波变换，（InverseDiscreteWaveletTransform,简称：IDWT）。在离散小波变换或小波分解的过程中包含了滤波和降采样，那么在小波重构过程中需要进行过采样和滤波，过采样是通过在相邻采样点之间插入零值来实现的，利用过采样可以使得信号分量的长度增加为原来的两倍，以达到和需要重构的信号一致的采样数据长度。三、小波包分解算法——精细化处理SDAHigh-passLow-pass1000个采样点1000个采样点1000个采样点ScDcAHigh-passLow-pass1000个采样点500个采样点500个采样点ScD1cA1cA2cD2cA3cD3小波包可以看作是小波分解的一种推广，利用小波包进行分析可以得到对信号更为精细的分析结果。通过将低频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频分量部分进行进一步的分解，并根据被分析信号特征，通过自适应的选择相应频带，达到与信号频谱的匹配，实现精细化处理。小波包原子是一种被时间、尺度和频率来表征的函数波形，对于一个给定的正交小波函数。我们能够在此基础上生成一组基，这组基一般称为小波包基。简单的说，小波包就是一个函数族，可以由这组函数构造出L2(R)的标准正交基库，从这组标准正交基库中可以选择出多组标准正交基，对于多分辨分析小波变换（正交小波变换）只是选择了其中的一组基，从这个意义上讲小波包就是小波变换的一种推广。四、几种常用的小波简介经过十多年的发展，科学家们已经设计出了几种在工程技术领域有非常重要应用的小波函数，在这里做一简单介绍：1.Morlet小波，它是高斯包络下的单频率复正玄函数：这是一个相当适用的小波，它的时。频域局部性能都比较好，由于ψ（ω）在ω=0处的斜率很小，所以ψ（ω）在ω=0处的一、二阶导数也近似为0.2.Marr小波，也叫墨西哥草帽小波，它是盖斯函数的二阶导数。在ω=0处，ψ（ω）有二阶零点，满足容许条件，且小波系数随ω衰减较快。Marr小波比较接近人眼视觉相应特性。3.DOC(diffrernceofgaussian)小波，它是两个尺度差一倍的高斯函数之差。在ω=0处，ψ（ω）及其一阶导数均为零，即DOC小波在ω=0处有二阶零点。五、小波变换的应用领域事实上小波分析飞应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理、量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面。1.小波分析在地球物理勘探中应用（1）地震数据压缩。将地震记录作小波变换，变换后的结果做阈值量化，去除大量接近于零的值，用一定的记录方式把结果存储起来，达到压缩的目的。当需要再利用这些地震数据时，作小波逆变换恢复原来的地震记录。（2）油气预测。地球物理勘探中，寻求地壳物质物性参数的奇异性是非常有意义的。例如，断层会使重力异常产生的较大变化；在地壳介质的分界面处，地震波的传播会产生速度和方向的变化，这些都是地球物理信号的奇异性。判断出奇异性的大小和位置就可以对异常现象做出解释。2.小波分析用于信号和图像处理（1）数据压缩。随着科学技术特别是计算机技术的发展以及互联网的普及，许多应用领域（如卫星监测、地震勘探、天气预报）都存在海量数据传输或存储问题，如果不对数据进行压缩，数量巨大的数据就很难存储、处理和传输。因此，伴随小波分析的诞生，数据压缩一直是小波分析的重要应用领域之一，并由此带来巨大的经济效益和社会效益。（2）语音分析与处理。小波理论应用于语音分析与处理的主要内容包括：清/浊音分割；基音检测与声门开启时刻定位；去噪、压缩、重建几个方面。3.小波用于脑电图