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第三章应变状态理论在外力（或温度变化）作用下，物体内各部分之间要产生相对运动。物体的这种运动状态，称为“变形”。本章专门分析物体的变形，它的任务是（1）分析一点的应变状态；（2）建立几何方程和应变协调方程。§3-1变形和应变的概念§3-2应变与位移的关系—几何方程§3-3相对位移张量转动分量§3-4主应变应变张量不变量§3-5体应变§3-6应变协调方程§3-7位移边界条件P1P§3-1变形和应变的概念yxzo在外力或温度变化作用下物体产生运动，这个过程中，物体可能同时出现两种变化（1）位置的变化（相当于刚体运动）；（2）形状的变化。PP1yxzo若用(x,y,z)和(x1,y1,z1)表示P点和P1点的坐标，则根据连续性要求（变形前连续的物体变形后仍保持为连续体），x1,y1,z1必须是x,y,z的单值连续函数。(x,y,z)(x1,y1,z1)PP1yxzo把P1点和P点的3个坐标对应地相减，可得P点的位移矢量在三个坐标轴上的分量，这3个分量简称为位移分量。如用u，v，w表示位移分量，则有(x,y,z)(x1,y1,z1)PP1yxzo(x,y,z)(x1,y1,z1)()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=−==−==−=zyxwzzyxzwzyxvyzyxyvzyxuxzyxxu,,,,,,,,,,,,111位移分量显然位移分量u,v,w必须是x,y,z的单值连续函数。为了进一步研究物体的变形情况，假想地把物体分割成无数微分平行六面体，使它们的6个面分别与3个坐标平面平行。显然，如果其中每一个微分平行六面体的变形为已知，则整个物体的变形情况就知道了。如不考虑变形后每一个微分平行六面体的方位，则它的变形可归结为棱边的伸长（或缩短）与棱边间夹角的变化。正应变：又称伸长率，表示棱边的伸长，用表示；ε切应变：表示棱边夹角的变化，用表示。γγ角应变（切应变）：γMNΔs线变形（伸长）：位移：→−−−′MMΔu平均线应变：sumΔΔ=ε线应变：dsdususM=ΔΔ=→Δlim0εMNLM'N'L'M'N'Δs+Δu表示M点沿MN方向的应变率表示直角∠NML的该变量位移分量：线变形分量：u、v、wzyx拉伸为正，压缩为负。εεε,,以锐化为正z角应变（切应变）分量：xyouvwxzzxzyyzyxxyγγγγγγ===,,一点的应变状态：知道一点的六个独立的应变分量：zxyzxyzyxγγγεεε,,,,,任一方向的应变即可确定，主应变也可确定，一点的应变情况就完全确定了，称这一点的应变情况总体称为应变状态。符号规定xyoPABdxdyuvP'A'B'A''αβxydxxuu∂∂+dxxv∂∂dyyvv∂∂+dyyu∂∂§3-2应变与位移的关系—几何方程按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，可得位移增量。xyoPABdxdyuvP'A'B'A''αβxydxxuu∂∂+xudxudxxuux∂∂=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+=εxux∂∂=εyvy∂∂=εzwz∂∂=εP点沿PA方向的线应变为：dyyvv∂∂+当线应变大于零时表示伸长，反之表示缩短xyoPABdxdyuvP'A'B'A''αβxydxxv∂∂dyyu∂∂γxy＝α+βdxxudxdxxv∂∂+∂∂≈yuxv∂∂+∂∂≈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=yuxvxwzuzvywxyzxyzγγγ角应变dxxuu∂∂+dyyvv∂∂+dyyvdydyyu∂∂+∂∂+几何方程或柯西方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzxγεγεγε，，，它给出了6个应变分量和3个位移分量之间的关系。如果已知位移分量，则不难通过上式求偏导数得到应变分量。如果给出应变分量求位移分量，则还需考虑协调关系。几何方程或柯西方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzxγεγεγε，，，它给出了6个应变分量和3个位移分量之间的关系。如果对上式的后三式两边同除2，并令xyxyxzxzyzyzεγεγεγ===212121，，则则几何方程又可表示为()ijjiijuu,,21+=ε⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=zyzxzyzyxyxzxyxijεγγγεγγγεε212121212121⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=zwzvywxwzuzvywyvyuxvxwzuyuxvxu212121212121§3-3相对位移张量转动分量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂zwywxwzvyvxvzuyuxuxuji由前节可知，6个应变分量是由9个位移分量的一阶偏导数表示的，即对于单连通体，若已知其相对位移张量，并假设位移分量具有二阶或二阶以上的连续偏导数，则可通过求积分求得连续单值的应变分量。这表明完全确定了物体的变形情况。相对位移张量引入Uω×∇=可算得其三个分量⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=yuxvωxwzuωzvywωzyx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂zwywxwzvyvxvzuyuxuxuji相对位移张量转动矢量转动分量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂zyzxzyzyxyxzxyxzwywxwzvyvxvzuyuxuεγγγεγγγε212121212121利用几何方程和转动分量，可将相对位移张量分解为两个张量：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−+000212121212121xyxzyzωωωωωω⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂zyzxzyzyxyxzxyxzwywxwzvyvxvzuyuxuεγγγεγγγε212121212121右边第一项为对称张量，表示微元体的纯变形，称为应变张量；第二项为反对称张量，表示微元体的刚性转动，即表示物体变形后微元体的方位变化。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−+000212121212121xyxzyzωωωωωω必须指出，，是坐标的函数，表示物体内微元体的刚性转动，但对整个物体来说，是属于变形的一部分，这3个和6个应变分量合在一起，才全面地反映了物体的变形。xωyωzω⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂zyzxzyzyxyxzxyxzwywxwzvyvxvzuyuxuεγγγεγγγε212121212121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−+000212121212121xyxzyzωωωωωωAA1BB2B3B1可以证明，与物体内A点无限邻近的一点B的位移由三部分组成。①随同A点平移位移，如左图中的BB2所示②绕A点刚性转动在B点所产生的位移，如左图中的B2B3所示③由A点邻近的微元体的变形在B点引起的位移，如左图中的B3B1§3-4主应变应变张量不变量'''''''''yxzxzyzyxγγγεεε，，，，，设在坐标系Oxyz下，某点（譬如M点）的6个应变分量为新老坐标之间有如下关系在新坐标系Ox'y'z'下，M点的6个应变分量为xyxzyzzyxγγγεεε，，，，，xyzx’l1m1n1y’l2m2n2z’l3m3n3左表中，li,mi,ni(i=1,2,3)表示3个新坐标轴对老坐标轴的方向余弦。可求得在新坐标系下M点的6个应变分量为jjiiijjinn′′′′=εεiin′上式中的下标表示新老坐标对应关系。如表示新坐标轴y’的单位矢量在老坐标轴z上的投影，即方向余弦n2。32′n可求出：物体内某一点沿任意方向微分线段的伸长率mlnlmnnmlxyxzyzzyxnγγγεεεε+++++=222n=(l,m,n)为该微分线段的方向余弦。物体受力变形后，过物体内的某一确定的点能否找到这样一个坐标系，在这个坐标下，只有正应变分量，而所有切应变分量都为零。也就是说，过该点能否找到这样3个互相垂直的方向，使沿这3个方向的微分线段在物体变形后只是各自地改变了长度，而其夹角仍保持为直角。物体内某点的6个应变分量将随着坐标系的旋转而改变。jjiiijjinn′′′′=εεFFABFFAB对于复杂受力物体内的任一点，同样也可以找到3个互相垂直的方向，使沿这3个方向的微分线段在物体变形后仍保持为直线。上述所说的三个互相垂直的方向，称为应变主方向，这样方向上的微线段的伸长率，称为主应变。过物体内任一点总可以找到这样的方向。虽然说应变主方向在物体变形后仍然互相保持垂直，但由于小单元体的刚性转动，一般说它们一起转动了同一角度。因此，一般说，在物体变形后，沿主方向的微分线段，已不和原来的微分线段平行，不过它们之间方向的偏离仅是由于小单元体的刚性转动引起的。现在来求这个应变主方向及主应变，为此设n=(l,m,n)为过物体内某一点A的应变主方向，其所需满足的方程（推演过程略）是()()()⎪⎩⎪⎨⎧=−++=+−+=++−000212121212121nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxεεγγγεεγγγεε欲使主方向n=(l,m,n)有非零解，必须有0212121212121=−−−εεγγγεεγγγεεzyzxzyzyxyxzxyx展开行列式，得主应变特征方程032213=−+−DDDεεε()zyzxzyzyxyxzxyxxyxzyzyxxzzykkDDDεγγγεγγγεγγγεεεεεεε21212121212132222141=++−++==D1、D2、D3分别称为应变张量的第一、第二和第三不变量。主应变特征方程有3个实根，如果分别用ε1、ε2、ε3表示，则它们就代表3个主应变，其相应的方向可通过分别把ε1、ε2、ε3代入特征方程，并利用l2+m2+n2=1而求得。它与主应力一样，有三种情况：032213=−+−DDDεεε()zyzxzyzyxyxzxyxxyxzyzyxxzzykkDDDεγγγεγγγεγγγεεεεεεε21212121212132224121=++−++==主应变的三种情况：（1）如果ε1≠ε2≠ε3，则3个主应变方向必相互垂直；（2）如果ε1=ε2≠ε3，则与ε3对应的方向必同时垂直于ε1与ε2对应的方向，而ε1与ε2对应的方向可以垂直，也可以不垂直，即与ε3对应方程垂直的方向均为主方向；（3）如果ε1=ε2=ε3，则3个主方向可以垂直，也可以不垂直，亦即任何方向均为主方向。总之，过物体内任何一点至少可以找到3个互相垂直的方向，沿这3个方向的微分线段在物体变形后仍然保持互相垂直。§3-5体应变dxdzdy考察图示平行六面体，其体积为dzdydxV⋅⋅=在物体受力变形后，微元体的各棱边要伸长或缩短，棱边间的夹角也要改变。由于切应变引起的体积改变是高阶微量，可忽略不计，故其变形后的体积为()()()()zyxzyxdxdydzdzdydxVεεεεεε+++≈+⋅+⋅+=1111*1*DzwyvxuVVVzyx=∂∂+∂∂+∂∂=++=−=εεεθ体应变为¾变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象。¾为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协调方程。ABCDABCD§3-6应变协调方程（圣维南方程）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzxγεγεγε，，，2222yxxy∂∂+∂∂εε若知道了位移分量，则极易通过几何方程获得应变分量。但如任意给出一组应变分量，则几何方程给出包括6个方程而只有3个未知函数偏微分方程组，由于方程组的个数超过了未知量的个数，方程组可能是矛盾的。几何方程yxyuxvyxxy∂∂∂=⎟⎟