学年论文一阶常微分方程的初等解法

题目：一阶常微分方程的初等解法摘要一阶常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。主要从三个方面讲述：一、微分方程的基本概念，二、一阶常微分方程的初等解法（其中包括变量分离微分方程、伯努利微分方程、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程），三、一阶常微分方程初等解法的应用举例。一阶常微分方程的求解因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，因此，针对不同的题型，应采取不同的方法。关键词：变量分离方程伯努利方程恰当微分方程积分因子应用举例AbstractFirstorderordinarydifferentialequationisamathematicalanalysisorapartofbasicmath,occupiesanimportantpositioninthemathematics.Mainlyfromthreeaspects:first,thebasicconceptofdifferentialequation;Second,theelementarysolutionoffirstorderordinarydifferentialequations(includingdifferentialequationofseparationofvariables,differentialequationofBernoulli,exactdifferentialequationandintegralfactor,first-orderhiddendecayequation);Third,theapplicationofelementaryfirst-orderordinarydifferentialequationsolution.Becausesolutionofthefirst-orderordinarydifferentialequationisflexibleandtechnique,ithasalwaysbeenabigdifficultyinstudentslearning.Therefore,accordingtodifferenttypes,differentmethodsshouldbetaken.Keywords:VariableseparableequationBernoulliequationAppropriatedifferentialequationIntegratingfactorApplications引言数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但已知变量与函数的代数关系，便组成代数方程，通过求解代数方程就可解出未知函数。一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，他们在实际问题中有着广泛的应用，值得我们好好学习和1.微分的基本概念1.1常微分方程微分方程：一般地，表示未知函数以及未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程。常微分方程：自变量只有一个的微分方程。微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数。一般的n阶微分方程具有的形式0),...,,(nndxyddxdyyxF这里0),...,,(nndxyddxdyyxF是nndxyddxdyyx、、、、...的已知函数，而且一定含有nndxyd；y是未知函数，x是自变量。1.2线性和非线性方程如果微分方程对于未知函数以及它的各阶导数的有理整式而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程。如22dydyytdtdt是非线性微分方程。一般的n阶线性微分方程形式1111()()()()nnnnnndydydyaxaxaxyfxdxdxdx这里12()()()()naxaxaxfx、、、、是x的已知函数。1.3解和隐式解微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解。即若函数)(xy代入式中，使其0),...,,(nndxyddxdyyxF成为恒等式，称)(xy为方程的解。如果关系式0),(yx决定的隐函数)(xy为方程的解，称0),(yx是方程0),...,,,(nndxyddxdyyxF的隐式解。1.4通解和特解通解：含有n个独立的任意常数nccc,...,,21的解),...,,(21ncccxy称为n阶方程的通解。特解：方程满足初值条件的解。定解问题：求方程满足定解条件的求解问题，定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题。2.一阶微分方程的初等解法微分方程的一个主要的问题就是“求解”，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解。这里详细介绍几种方法。2.1变量分离微分方程形如()()dyfxydx（1）的方程，称为变量分离方程，()fx，()y分别是x，y的连续函数，这是一类最简单的一阶函数。如果()0y，我们可将（1）改写成()()dyfxdxy，这样，变量就“分离”开来了。两边积分，得到()()dyfxdxcy（2）这里我们把积分常数c明确写出来，而把()dyy，()fxdx分别理解为1()y，()fx的原函数。常数c的取值必须保证（2）有意义。例1求解方程dxdyxy解将变量分离，得到xdxydy两边积分，即得22222cxy因而，通解为cyx22这里c是任意正常数，或者解出y，写出显函数形式的解2xcy2.1.1可化为变量分离方程的类型：一阶线性微分方程dyPxyQxdx，（1）其中Px，Qx在考虑的区间上是x的连续函数，若()0Qx，（1）变为dyPxydx，（2）称为一阶齐次线性微分方程。若()0Qx，（1）称为一阶非齐次线性微分方程。变量分离方程，易求得它的通解为Pxdxyce，这里c是任意常数。)a齐次微分方程)(xygdxdy，令xyu，方程可化为分离变量的方程，xuugdxdu)(。)b分式线性方程222111cybxacybxadxdy下面分三种情形来讨论：ⅰ）021cc，这时ybxaybxadxdy2211为齐次方程。ⅱ）02211baba及02221cc，这时可作变换kyhx,，其中kh,是线性代数方程00222111ckbhackbha的唯一解，可将方程化为齐次方程2211babadd。ⅲ）02211baba及02221cc，这时可设2121bbaa，方程可化为222122)()(cybxacybxadxdy，再令uybxa22，则方程可进一步化为2122cucubadxdu，这是一个变量可分离方程。)c其它类型的方程利用整体代换的思想，可将其他类型的方程化为变量可分离方程。例如)(cbyaxfdxdy，令cbyaxu；0)()(dyxyxgdxxyyf，令xyu；)(2xyfdxdyx，令xyu；)(2xyxfdxdy，令2xyu。例2求方程22dyxxyydx的通解。解方程可化为2()dyyydxxx，令yux，将dyduxudxdx代入上式，可得2duxudx，易知0u是上式的一个解，从而0y为原方程的一个解。当0u时，分离变量得2dudxux，两边积分得1lnuxc，故可得原方程的通解为lnxyxc例3求方程111dydxxy的通解。解令1uxy，则有1yux，代入所求方程111duxdxu，整理可得1dudxu，由变量分离得22uxc，故所求方程的通解为212xyxc2.2伯努利微分方程形如nyxQyxPdxdy的方程，称为伯努利微分方程，这里Px，()Qx为x的连续函数，0,1n是常数。利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程。事实上，对于0y，用ny乘两边，得到1nndyyyPxQxdx，引入变量变换1nzy，从而1ndzdynydxdx将代入得到11dznPxznQxdx，这是线性微分方程，可按常数变易法求得它的通解，然后代回原来的变量，便得到的通解。此外，当0n时，方程还有解。例4求微分方程222dyyxdxxy的通解。解这是一个伯努利微分方程,两边同乘以2y，得222dyyyxdxx，令2uy，则有2duuxdxx，上式是一个一阶非齐次线形微分方程，由常数变易法可求得上式的解为312ucxx，从而原方程的通解为2312ycxx2.3恰当微分方程与积分因子2.3.1恰当微分方程我们可以将一阶方程(,)dyfxydx写成微分的形式(,)0fxydxdy，或把x，y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程(,)(,)0MxydxNxydy，（1）这里假设(,)Mxy，(,)Nxy在某矩形域内是x，y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。这样的形式有时候便于探求方程的通解。如果方程的左端恰好是某个二元函数(,)uxy的全微分，即(,)(,)(,)uuMxydxNxydyduxydxdyxy，则称（1）为恰当微分方程。例5求微分方程2220dyxyyxdx的通解。解这里2Mxy，22Nyx，从而2MNxyyx，可知所求的微分方程为恰当微分方程，则有2uyxx，对x积分得2212uxyy，再对y求导，则得2dyuxyydy，又有22uxyy，则可得2yy，将2yy代入得22122uxyy，所以原方程的通解为22122xyyc2.3.2积分因子的定义与充要条件恰当微分方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义。积分因子就是为了解决这个问题引进的概念。如果存在连续可微函数,0xy，使得,,,,0xyMxydxxyNxydy，为一恰当微分方程，即存在函数v，使MdxNdydv，则称,xy为方程,,0MxydxNxydy的积分因子。函数,xy为,,0MxydxNxydy积分因子的充要条件是()()MNyx，即()MNNMxyyx假设原方程存在只与x有关的积分因子x，则0x，则为原方程的积分因子的充要条件是()MNxyx，即()MNyxxN仅是关于x的函数。此时可求得原方程的一个积分因子为xdxe同样有只与y有关的积分因子的充要条件是()MNyxyM是仅为y的函数，此时可求得方程的一个积分因子为ydye例6求方程330ydxxydy的通解。解在此式中My，33Nxy，因13MNyx,所以该方程不是恰当方程，因()233MNyxNxy不是x的函数，但()2MNyxMy是y的函数，所以22dyyey为方程的积分因子，方程乘以积分因子，得3223330ydxyxyydy，该式为恰当微分方程，通过以上介绍的求恰当微分方程的方法得原方程的通解为33414xyyyc2.4一阶隐式微分方程2.4.1可以解出y或x的方程一阶隐方程的一般形式为(,,')0Fxyy（1）形如,dyyfxdx的方程的解法，这里假设,dyfxdx有连续的偏导数。引进参数dypdx，则变为,yfxp将两边对x求导数，并以dypdx代入，得到ffppxpx方程是关于x，p的一阶微分方程，但它的导数已解出，于