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22.2二次函数与一元二次方程第二十二章二次函数新知导入试一试：根据所学知识，完成下列问题.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：___________________h=20t-5t2课程讲授1二次函数与一元二次方程问题1.1：小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？y/mOt/s15解解方程t1=1,t2=3.15=20t-5t2,t2-4t+3=0,当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.13课程讲授1二次函数与一元二次方程问题1.2：小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？y/mOt/s20解解方程20=20t-5t2,t1=t2=2.t2-4t+4=0,当球飞行2秒时，它的高度为20米2课程讲授1二次函数与一元二次方程问题1.3：小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？y/mOt/s20.5解解方程20.5=20t-5t2,因为(-4)2-4×4.10,所以方程无实数根.t2-4t+4.1=0,也就是说小球的飞行高度达不到20.5米.课程讲授1二次函数与一元二次方程问题1.4：小球从飞出到落地要用多少时间？y/mOt/s解小球飞出时和落地时的高度都为0，解方程t1=0,t2=4.0=20t-5t2,t2-4t=0,当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.小球从飞出到落地要用4秒4课程讲授1二次函数与一元二次方程归纳：二次函数与一元二次方程联系密切.一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.课程讲授1二次函数与一元二次方程问题2：观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.提示：画出二次函数的图像进行观察比较.课程讲授1二次函数与一元二次方程-1-2-3-451-23-4-5-12-34-512345yOxy=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1课程讲授1二次函数与一元二次方程-1-2-3-451-23-4-5-12-34-512345yOxy=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1抛物线y=x2－x＋1与x轴公共点个数为____,方程x2-x+1=0________抛物线y=x2－6x＋9与x轴公共点个数为____,方程x2－6x＋9=0_________________抛物线y=x2＋x－2与x轴公共点个数为____,方程x2＋x－2=0______________________0无解1有两个相等的实数解2有两个不相等的实数解课程讲授1二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系：1.如果抛物线y=ax2+bx+c与____有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x=_____时，函数值是0，因此x=_____是方程的ax2+bx+c=0一个根.2.二次函数的图像与_____的位置关系有三种：______公共点，_______公共点，_______公共点，对应着一元二次方程的根的三种情况：__________根，________________根,_______________________根.x轴x轴x0x0有两个没有有一个没有实数有两个相等的实数有两个不相等的实数课程讲授1二次函数与一元二次方程练一练：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的根是（）A.x1=1，x2=-1B.x1=0，x2=2C.x1=-1，x2=2D.x1=1，x2=0C课程讲授2利用二次函数求一元二次方程根的近似值例利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（结果保留小数点后一位）.-1-2-3-451-23-4-5-12-34-512345yOx(-0.7,0)(2.7,0)解画出函数y=x²-2x-2的图象，所以方程x²-2x-2=0的实数根为y=x²-2x-2它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7x1≈-0.7,x2≈2.7课程讲授2利用二次函数求一元二次方程根的近似值利用二次函数求一元二次方程根的近似值：画出对应的二次函数图象，根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．课程讲授2利用二次函数求一元二次方程根的近似值练一练：下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是()A.6x6.17B.6.17x6.18C.6.18x6.19D.6.19x6.20C课程讲授3二次函数与不等式问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试着求出下列不等式的解集.-1-2-3-451-23-4-5-12-34-512345yOx(1)不等式ax2+bx+c0的解集;(2)不等式ax2+bx+c0的解集.方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3x-1或x3时，函数的图象位于x轴上方，即y0,故ax2+bx+c0的解集为x-1或x3-1x3时，函数的图象位于x轴下方，即y0,故ax2+bx+c0的解集为-1x3课程讲授3二次函数与不等式问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试着求出下列不等式的解集.(3)不等式ax2+bx+c2的解集;(4)不等式ax2+bx+c2的解集.-1-2-3-451-23-4-5-12-34-512345yOxy=2(-1.5,0)(3.5,2)方程ax2+bx+c=2的根是x1=-1.5，x2=3.5x-1.5或x3.5时，函数的图象位于直线y=0上方，即y2,故ax2+bx+c0的解集为x-1.5或x3.5-1.5x3.5时，函数的图象位于直线y=0下方，即y2,故ax2+bx+c0的解集为-1.5x3.5课程讲授3二次函数与不等式问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试着求出下列不等式的解集.(5)不等式ax2+bx+c-5的解集;-1-2-3-451-23-4-5-12-34-512345yOxy=-5直线y=-5与函数y=ax2+bx+c图象没有交点,故不等式ax2+bx+c-5无解.函数y=ax2+bx+c的图象始终位于直线y=-5上方，课程讲授3二次函数与不等式二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系：1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，当a＞0时，y＜0，则___________;y＞0，则_______________.当a＜0时，y＜0，则______________;y＞0，则_______________.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，当a＞0时，y0，则_______________________;y＜0，______;当a＜0时，y0，______;y＜0，则__________________________。x1＜x＜x2x2＜x或x＜x2x2＜x或x＜x2x1＜x＜x2解是除x0之外的所有实数无解无解解是除x0之外的所有实数课程讲授3二次函数与不等式练一练：如图，二次函数的图象与x轴相交于（-2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜-2B.-2＜x＜4C.x＞0D.x＞4B随堂练习1.已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A.m≤5B.m≥2C.m＜5D.m＞22.抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个41AC随堂练习3.若函数y=mx2+(m+2)x+m+1与x轴只有一个交点，则m的值为()A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-24.函数y=ax2+2ax+m(a＜0)的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A.x＜-4或x＞2B.-4＜x＜2C.x＜0或x＞2D.0＜x＜221DA随堂练习5.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（-1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（）A.0＜x＜B.0＜x＜1C.＜x＜1D.-1＜x＜22121B随堂练习6.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下列问题：若m，n(mn)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根，且ab，则a，b，m，n的大小关系是()A.mabnB.amnbC.ambnD.manbA随堂练习7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.(3)由图象可知k2解(1)由图象可知x1=1,x2=3.(2)由图象可知x2.随堂练习8.已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0，其中k为常数.（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.随堂练习（1）证明∵Δ=（k-5）2-4（1-k）=k2-6k+21=（k-3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）解∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上.∵Δ=（k-3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点.设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2.∵二次函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限，∴x1+x2=5-k＞0，x1x2=1-k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1.随堂练习则k的最大整数值为2.（3）解设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1-3）（x2-3）＜0，∴x1x2-3（x1+x2）+9＜0.又∵x1+x2=5-k，x1x2=1-k，∴1-k-3（5-k）+9＜0，解得k＜，25